Para z1, ldots, zn in C, seja f(x)=(x- z1) ldots(x-zn). Prove que, para z in C backslashz1, ldots, zn temos
f^prime(z)f(z)=sumi=1^n 1z-zi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de matemática envolvendo números complexos e derivadas. A gente precisa provar que, para uma função polinomial construída a partir de números complexos , a razão entre a derivada dessa função e a própria função é igual à soma de frações envolvendo esses números . Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de derivadas e manipulação de produtos. Então, vamos descomplicar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender direitinho qual é a função que estamos lidando. A função f(x) = (x - z1)(x - z2) ldots (x - zn) é definida como o produto de termos da forma , ou seja:
Isso significa que é um polinômio de grau com raízes nos números complexos .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada dessa função, . Para derivar um produto de vários termos, a gente pode usar a regra do produto geral, que diz que a derivada de um produto é a soma de cada termo derivado multiplicado pelos demais termos. Mas isso pode ficar complicado para muitos termos, então vamos usar uma técnica mais simples: o logaritmo.

Passo 4

Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação da função:
ln f(x) = ln[(x - z1)(x - z2) ldots (x - zn)]
Usando a propriedade dos logaritmos que transforma o log do produto em soma dos logs, ficamos com:
ln f(x) = ln(x - z1) + ln(x - z2) + ldots + ln(x - zn)

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a f'(x)f(x) = 1x - z1 + 1x - z2 + ldots + 1x - zn . A derivada do logaritmo natural é . Aplicando isso, temos:
Isso porque cada termo ao ser derivado dá .

Passo 6

Finalmente, queremos essa relação específica para f'(z)f(z) = sumi=1^n 1z - zi e onde não é igual a nenhum dos . Substituindo por , temos:
E é isso que a gente queria provar!

Resposta

Portanto, mostramos que para f^prime(z)f(z) = sumi=1^n 1z - zi , a razão entre a derivada da função e a própria função é igual �� soma das frações , ou seja:

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