Para
, seja
. Prove que, para
temos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de matemática envolvendo números complexos e derivadas. A gente precisa provar que, para uma função polinomial construída a partir de números complexos
, a razão entre a derivada dessa função e a própria função é igual à soma de frações envolvendo esses números
. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de derivadas e manipulação de produtos. Então, vamos descomplicar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender direitinho qual é a função que estamos lidando. A função
é definida como o produto de termos da forma
, ou seja:
Isso significa que
é um polinômio de grau
com raízes nos números complexos
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada dessa função,
. Para derivar um produto de vários termos, a gente pode usar a regra do produto geral, que diz que a derivada de um produto é a soma de cada termo derivado multiplicado pelos demais termos. Mas isso pode ficar complicado para muitos termos, então vamos usar uma técnica mais simples: o logaritmo.
Passo 4
Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação da função:
Usando a propriedade dos logaritmos que transforma o log do produto em soma dos logs, ficamos com:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. A derivada do logaritmo natural
é
. Aplicando isso, temos:
Isso porque cada termo
ao ser derivado dá
.
Passo 6
Finalmente, queremos essa relação específica para
e onde
não é igual a nenhum dos
. Substituindo
por
, temos:
E é isso que a gente queria provar!
Resposta
Portanto, mostramos que para
, a razão entre a derivada da função
e a própria função é igual �� soma das frações
, ou seja:
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