Encontre todos os polinômios não constantes f em Q[X] tais que f(f(X)) = f(X)^k, onde k é um inteiro positivo dado.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisamos encontrar todos os polinômios não constantes com coeficientes racionais (ou seja, ) que satisfazem a equação , onde é um número inteiro positivo dado. Vamos usar conceitos de álgebra polinomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no grau do polinômio . Se tem grau , então terá grau , já que a composição de polinômios multiplica os graus. Por outro lado, terá grau , porque elevar um polinômio ao expoente multiplica seu grau por .

Passo 3

Para que seja verdadeira, os graus dos dois lados da equação devem ser iguais. Portanto, igualamos os graus:
Isso simplifica para:

Passo 4

A solução dessa equação nos dá ou . Porém, corresponderia a ser um polinômio constante, mas o exercício pede que seja não constante. Então, concluímos que . Ou seja, deve ter grau .

Passo 5

Agora, vamos considerar um polinômio simples de grau com coeficientes racionais. Um exemplo natural é , onde é um número racional.

Passo 6

Vamos verificar se satisfaz a equação :
Para que , precisamos que . Isso implica que , ou seja, .

Passo 7

As soluções para são ou . No entanto, resultaria em , que é um polinômio constante, o que não atende às condições do exercício. Portanto, a única solução válida é .

Resposta

O único polinômio não constante que satisfaz a equação é .

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