Encontre todos os polinômios não constantes
tais que
, onde
é um inteiro positivo dado.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisamos encontrar todos os polinômios não constantes
com coeficientes racionais (ou seja,
) que satisfazem a equação
, onde
é um número inteiro positivo dado. Vamos usar conceitos de álgebra polinomial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no grau do polinômio
. Se
tem grau
, então
terá grau
, já que a composição de polinômios multiplica os graus. Por outro lado,
terá grau
, porque elevar um polinômio ao expoente
multiplica seu grau por
.
Passo 3
Para que
seja verdadeira, os graus dos dois lados da equação devem ser iguais. Portanto, igualamos os graus:
Isso simplifica para:
Passo 4
A solução dessa equação nos dá
ou
. Porém,
corresponderia a
ser um polinômio constante, mas o exercício pede que
seja não constante. Então, concluímos que
. Ou seja,
deve ter grau
.
Passo 5
Agora, vamos considerar um polinômio simples de grau
com coeficientes racionais. Um exemplo natural é
, onde
é um número racional.
Passo 6
Vamos verificar se
satisfaz a equação
:
Para que
, precisamos que
. Isso implica que
, ou seja,
.
Passo 7
As soluções para
são
ou
. No entanto,
resultaria em
, que é um polinômio constante, o que não atende às condições do exercício. Portanto, a única solução válida é
.
Resposta
O único polinômio não constante que satisfaz a equação
é
.
Exercícios relacionados
Sejam
, denotamos por
a enésima derivada da função
. Prove a fórmula de Leibniz:
Resvolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja,
, para isso, determine o valor da contante
.
Sejam
, sendo
. Para
, prove que o resto da divisão de
por
é igual a
.