Sejam , denotamos por a enésima derivada da função . Prove a fórmula de Leibniz:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar a Fórmula de Leibniz para derivadas de produtos. O assunto aqui é cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções multiplicadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada, especialmente derivadas de ordem superior, e usar o princípio da indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a fórmula está nos dizendo. Ela diz que a -ésima derivada do produto de duas funções e pode ser escrita como uma soma de produtos de derivadas de e , onde os índices das derivadas somam . A fórmula é:
Aqui, é a -ésima derivada de , e é a -ésima derivada de . O representa o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher derivadas para dentre as totais.

Passo 3

Vamos usar o princípio da indução matemática para provar essa fórmula. A indução funciona mostrando que a fórmula vale para um caso base (geralmente ) e que, se é válida para , então também vale para .

Passo 4

Caso Base ( ):
Quando , a derivada de ordem zero de uma função é a própria função. Então,
E, pela fórmula de Leibniz:
Então, o caso base é válido.

Passo 5

Hipótese de Indução:
Assumimos que a fórmula é válida para algum , ou seja,

Passo 6

Passo Indutivo ( ):
Queremos mostrar que:
Começamos derivando ambos os lados da hipótese de indução:
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então:
Aplicando a regra do produto para derivadas:
Então,
Vamos separar as duas somas:
Fazendo uma mudança de índice na segunda soma, seja :
Renomeando de volta para :
Agora, combinamos as somas:
Usando a propriedade dos coeficientes binomiais :
Isso prova que a fórmula vale para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a Fórmula de Leibniz está provada:

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