Sejam f, g in C^n, denotamos por f^(n) a enésima derivada da função f. Prove a fórmula de Leibniz:
(f g)^(n)=sumj=0^nbinomnj f^(n-j) g^(j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar a Fórmula de Leibniz para derivadas de produtos. O assunto aqui é cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções multiplicadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada, especialmente derivadas de ordem superior, e usar o princípio da indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a fórmula está nos dizendo. Ela diz que a (f g)^(n) = sumj=0^n binomnj f^(n-j) g^(j) -ésima derivada do produto de duas funções e pode ser escrita como uma soma de produtos de derivadas de e , onde os índices das derivadas somam . A fórmula é:
Aqui, é a -ésima derivada de , e é a -ésima derivada de . O representa o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher derivadas para dentre as totais.

Passo 3

Vamos usar o princípio da indução matemática para provar essa fórmula. A indução funciona mostrando que a fórmula vale para um caso base (geralmente ) e que, se é válida para , então também vale para .

Passo 4

Caso Base ( (f g)^(0) = f g ):
Quando sumj=0^0 binom0j f^(0-j) g^(j) = binom00 f^(0) g^(0) = 1 cdot f cdot g = f g , a derivada de ordem zero de uma função é a própria função. Então,
E, pela fórmula de Leibniz:
Então, o caso base é válido.

Passo 5

Hipótese de Indução:
Assumimos que a fórmula é válida para algum (f g)^(k) = sumj=0^k binomkj f^(k-j) g^(j) , ou seja,

Passo 6

Passo Indutivo ( (f g)^(k+1) = sumj=0^k+1 binomk+1j f^(k+1-j) g^(j) ):
Queremos mostrar que:
(f g)^(k+1) = ddx ( sumj=0^k binomkj f^(k-j) g^(j) )
Começamos derivando ambos os lados da hipótese de indução:
(f g)^(k+1) = sumj=0^k binomkj ddx ( f^(k-j) g^(j) )
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então:
ddx ( f^(k-j) g^(j) ) = f^(k-j+1) g^(j) + f^(k-j) g^(j+1)
Aplicando a regra do produto para derivadas:
(f g)^(k+1) = sumj=0^k binomkj ( f^(k-j+1) g^(j) + f^(k-j) g^(j+1) )
Então,
= sumj=0^k binomkj f^(k+1-j) g^(j) + sumj=0^k binomkj f^(k-j) g^(j+1)
Vamos separar as duas somas:
= sumj=0^k binomkj f^(k+1-j) g^(j) + sumj'=1^k+1 binomkj'-1 f^(k+1-j') g^(j')
Fazendo uma mudança de índice na segunda soma, seja = sumj=0^k binomkj f^(k+1-j) g^(j) + sumj=1^k+1 binomkj-1 f^(k+1-j) g^(j) :
= binomk0 f^(k+1) g^(0) + sumj=1^k ( binomkj + binomkj-1 ) f^(k+1-j) g^(j) + binomkk f^(0) g^(k+1)
Renomeando = sumj=0^k+1 binomk+1j f^(k+1-j) g^(j) de volta para :
Agora, combinamos as somas:
Usando a propriedade dos coeficientes binomiais :
Isso prova que a fórmula vale para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a Fórmula de Leibniz está provada:
(f g)^(n) = sumj=0^n binomnj f^(n-j) g^(j)

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