Sejam
, denotamos por
a enésima derivada da função
. Prove a fórmula de Leibniz:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar a Fórmula de Leibniz para derivadas de produtos. O assunto aqui é cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções multiplicadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada, especialmente derivadas de ordem superior, e usar o princípio da indução matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a fórmula está nos dizendo. Ela diz que a
-ésima derivada do produto de duas funções
e
pode ser escrita como uma soma de produtos de derivadas de
e
, onde os índices das derivadas somam
. A fórmula é:
Aqui,
é a
-ésima derivada de
, e
é a
-ésima derivada de
. O
representa o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher
derivadas para
dentre as
totais.
Passo 3
Vamos usar o princípio da indução matemática para provar essa fórmula. A indução funciona mostrando que a fórmula vale para um caso base (geralmente
) e que, se é válida para
, então também vale para
.
Passo 4
Caso Base (
):
Quando
, a derivada de ordem zero de uma função é a própria função. Então,
E, pela fórmula de Leibniz:
Então, o caso base é válido.
Passo 5
Hipótese de Indução:
Assumimos que a fórmula é válida para algum
, ou seja,
Passo 6
Passo Indutivo (
):
Queremos mostrar que:
Começamos derivando ambos os lados da hipótese de indução:
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então:
Aplicando a regra do produto para derivadas:
Então,
Vamos separar as duas somas:
Fazendo uma mudança de índice na segunda soma, seja
:
Renomeando
de volta para
:
Agora, combinamos as somas:
Usando a propriedade dos coeficientes binomiais
:
Isso prova que a fórmula vale para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a Fórmula de Leibniz está provada:
Exercícios relacionados
Seja
a sequência de Fibonacci. Mostre que, para todo
, temos
Encontre todos os polinômios não constantes
tais que
, onde
é um inteiro positivo dado.
Resvolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja,
, para isso, determine o valor da contante
.