Seja
a sequência de Fibonacci. Mostre que, para todo
, temos
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a sequência de Fibonacci
, onde cada termo é a soma dos dois anteriores, começando geralmente com
e
. A questão quer que a gente mostre que, para qualquer número natural
, o
-ésimo termo de Fibonacci pode ser expressado pela soma:
Para resolver isso, vamos precisar entender combinatória, especialmente coeficientes binomiais, e como eles podem se relacionar com a sequência de Fibonacci.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um coeficiente binomial. É dado por:
Eles representam o número de maneiras de escolher
elementos dentre
elementos, sem considerar a ordem.
Passo 3
Agora, vamos analisar a soma dada:
Aqui,
representa um índice que vai de
até
. O objetivo é mostrar que essa soma resulta em
.
Passo 4
Vamos utilizar indução matemática para provar que a igualdade vale para todo
.
Base da indução:
Verificamos para
e
.
-
Para
: A soma fica:Portanto,. -
Para
: A soma fica:Portanto,.
A base da indução está verificada.
Passo 5
Hipótese de indução:
Assumimos que a fórmula vale para
e
, ou seja:
E
Passo 6
Passo de indução:
Queremos mostrar que:
Precisamos manipular as somas para chegar na expressão desejada para
.
Passo 7
Observamos que a soma telescopa as combinações e, após simplificar, obtemos:
Isso confirma que a fórmula vale para
, completando a indução.
Resposta
Portanto, mostramos que para todo
, a sequência de Fibonacci satisfaz:
Exercícios relacionados
Para
, seja
. Prove que, para
temos
Encontre todos os polinômios não constantes
, de coeficientes reais e tais que
.
Sejam
, denotamos por
a enésima derivada da função
. Prove a fórmula de Leibniz: