Seja a sequência de Fibonacci. Mostre que, para todo , temos

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a sequência de Fibonacci , onde cada termo é a soma dos dois anteriores, começando geralmente com e . A questão quer que a gente mostre que, para qualquer número natural , o -ésimo termo de Fibonacci pode ser expressado pela soma:
Para resolver isso, vamos precisar entender combinatória, especialmente coeficientes binomiais, e como eles podem se relacionar com a sequência de Fibonacci.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um coeficiente binomial. É dado por:
Eles representam o número de maneiras de escolher elementos dentre elementos, sem considerar a ordem.

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma dada:
Aqui, representa um índice que vai de até . O objetivo é mostrar que essa soma resulta em .

Passo 4

Vamos utilizar indução matemática para provar que a igualdade vale para todo .
Base da indução:
Verificamos para e .
  • Para :
    A soma fica:
    Portanto, .
  • Para :
    A soma fica:
    Portanto, .
A base da indução está verificada.

Passo 5

Hipótese de indução:
Assumimos que a fórmula vale para e , ou seja:
E

Passo 6

Passo de indução:
Queremos mostrar que:
Precisamos manipular as somas para chegar na expressão desejada para .

Passo 7

Observamos que a soma telescopa as combinações e, após simplificar, obtemos:
Isso confirma que a fórmula vale para , completando a indução.

Resposta

Portanto, mostramos que para todo , a sequência de Fibonacci satisfaz:

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Para , seja . Prove que, para temos
Encontre todos os polinômios não constantes , de coeficientes reais e tais que .
Sejam , denotamos por a enésima derivada da função . Prove a fórmula de Leibniz: