Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar todos os pontos críticos dela. Depois, vamos verificar se esses pontos são máximos relativos, mínimos relativos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo de funções de várias variáveis, especificamente derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável varia e a outra fica fixa.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Eles ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, resolvemos o sistema de equações:
Vamos simplificar:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, resolvemos o sistema:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Então,
Logo, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar esse ponto crítico, vamos usar o critério da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Agora, calculamos o discriminante
:
Passo 5
Interpretando o discriminante:
- Se
e , temos um mínimo relativo. - Se
e , temos um máximo relativo. - Se
, o ponto é um ponto de sela.
No nosso caso,
, então o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico da função
é
e ele corresponde a um ponto de sela.
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e
. Se
é a temperatura em qualquer ponto
. Ache o ponto mais quente e o mais frio da região.
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