Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todos os pontos críticos da função e depois determinar se cada um é um máximo relativo, mínimo relativo ou um ponto de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde essas derivadas são zero.
Para :
Para :
Assim, temos dois pontos críticos:

Passo 4

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as derivadas segundas:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para o ponto (1, 0):
Quando , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Precisamos analisar melhor o comportamento da função nesse ponto. Observando a função , podemos ver que ao variar e próximos a , a função não apresenta um máximo ou mínimo claro, indicando um ponto de sela.
Para o ponto (-1, 0):
Novamente, , e analisando a função, percebemos que o ponto também não apresenta comportamento de máximo ou mínimo, caracterizando outro ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são e . Ambos são pontos de sela, ou seja, não correspondem a máximos ou mínimos relativos.

Exercícios relacionados

Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = x^2 + 4xy - y^2 - 8x - 8y
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = (x - y + 1)²;
Um médico prescreve um comprimido de antibiótico de 100 mg que deve ser tomado a cada 8 horas. Sabe-se que o corpo elimina 75 % da droga em 8 horas.
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = 1 + x * y - x - y.