Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todos os pontos críticos da função
e depois determinar se cada um é um máximo relativo, mínimo relativo ou um ponto de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde essas derivadas são zero.
Para
:
Para
:
Assim, temos dois pontos críticos:
Passo 4
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as derivadas segundas:
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para o ponto (1, 0):
Quando
, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Precisamos analisar melhor o comportamento da função nesse ponto. Observando a função
, podemos ver que ao variar
e
próximos a
, a função não apresenta um máximo ou mínimo claro, indicando um ponto de sela.
Para o ponto (-1, 0):
Novamente,
, e analisando a função, percebemos que o ponto
também não apresenta comportamento de máximo ou mínimo, caracterizando outro ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
. Ambos são pontos de sela, ou seja, não correspondem a máximos ou mínimos relativos.
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Um médico prescreve um comprimido de antibiótico de 100 mg que deve ser tomado a cada 8 horas. Sabe-se que o corpo elimina
da droga em 8 horas.
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
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