Encontre todos os pontos críticos da função
e classifique-os como pontos de máximo ou mínimo local, ou pontos de sela. O número total de pontos críticos é:
5
5
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos todos os pontos críticos da função
e classificá-los como pontos de máximo local, mínimo local ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariado, especificamente derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Ou seja:
Passo 4
Vamos resolver a equação (1):
Isso nos dá duas possibilidades:
-
-
que simplifica para
Passo 5
Caso 1:
Substituindo na equação (2):
Então:
-
→ Ponto crítico: -
→ Ponto crítico:
Caso 2:
Substituindo na equação (2):
Então:
-
→ Mas já consideramos quando , o que não satisfaz . Portanto, descartado. -
⇒
Substituindo
em
:
Então, terceiro ponto crítico:
Resposta
O número total de pontos críticos é: 3
Classificação dos Pontos Críticos
Para classificar os pontos (máximo, mínimo ou sela), precisaríamos analisar a segunda derivada ou usar o teste da derivada segunda, mas como o enunciado solicita apenas o número total, vamos encerrar aqui.
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1
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Infinitos.
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0
0
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2
2