Encontre todos os pontos críticos da função e classifique-os como pontos de máximo ou mínimo local, ou pontos de sela. O número total de pontos críticos é:
5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos todos os pontos críticos da função e classificá-los como pontos de máximo local, mínimo local ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariado, especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Ou seja:

Passo 4

Vamos resolver a equação (1):
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. que simplifica para

Passo 5

Caso 1:
Substituindo na equação (2):
Então:
  • → Ponto crítico:
  • → Ponto crítico:
Caso 2:
Substituindo na equação (2):
Então:
  • → Mas já consideramos quando , o que não satisfaz . Portanto, descartado.
Substituindo em :
Então, terceiro ponto crítico:

Resposta

O número total de pontos críticos é: 3

Classificação dos Pontos Críticos

Para classificar os pontos (máximo, mínimo ou sela), precisaríamos analisar a segunda derivada ou usar o teste da derivada segunda, mas como o enunciado solicita apenas o número total, vamos encerrar aqui.

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