Encontre todos os pontos críticos da função
e classifique-os como pontos de máximo ou mínimo local, ou pontos de sela. O número total de pontos críticos é:
0
0
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os pontos críticos da função
e classificá-los como pontos de máximo, mínimo local ou pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente encontramos os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
Simplificando:
A derivada parcial em relação a
é:
Simplificando:
Passo 3
Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo
e
.
Passo 4
Vamos resolver as equações:
Caso 1:
Substituindo na equação (2):
Portanto,
ou
.
Pontos críticos desse caso:
e
.
Caso 2:
⟹
Substituindo na equação (2):
Simplificando:
Portanto,
ou
⟹
.
Se
, então
.
Se , então
.
Se
Pontos críticos desse caso:
e
.
Passo 5
Agora, temos os seguintes pontos críticos:
Passo 6
Vamos classificar cada ponto usando a segunda derivada (Teste da Hessiana).
Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Como
, o ponto é de máximo local.
Resposta
O número total de pontos críticos é 4.
Resumo dos Pontos Críticos:
-
– Ponto de sela -
– Ponto de sela -
– Ponto de sela -
– Máximo local
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5
5
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1
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2
2
As afirmações abaixo são falsas, apresente um exemplo que comprove a falsidade.
(e) Se então
.
(e) Se