Encontre todos os pontos críticos da função e classifique-os como pontos de máximo ou mínimo local, ou pontos de sela. O número total de pontos críticos é:
0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os pontos críticos da função e classificá-los como pontos de máximo, mínimo local ou pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente encontramos os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
Simplificando:
A derivada parcial em relação a é:
Simplificando:

Passo 3

Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo e .

Passo 4

Vamos resolver as equações:
Caso 1:
Substituindo na equação (2):
Portanto, ou .
Pontos críticos desse caso: e .
Caso 2:
Substituindo na equação (2):
Simplificando:
Portanto, ou .
Se , então .
Se , então .
Pontos críticos desse caso: e .

Passo 5

Agora, temos os seguintes pontos críticos:

Passo 6

Vamos classificar cada ponto usando a segunda derivada (Teste da Hessiana).
Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante .
Para :
Para :
Para :
Para :
Como , o ponto é de máximo local.

Resposta

O número total de pontos críticos é 4.

Resumo dos Pontos Críticos:

  1. – Ponto de sela
  2. – Ponto de sela
  3. – Ponto de sela
  4. – Máximo local

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2
As afirmações abaixo são falsas, apresente um exemplo que comprove a falsidade.
(e) Se então .