Encontre todos os pontos críticos da função e classifique-os como pontos de máximo ou mínimo local, ou pontos de sela. O número total de pontos críticos é:
2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os pontos críticos da função e classificá-los como pontos de máximo local, mínimo local ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Multivariável, especificamente derivadas parciais e testes para pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Eles são pontos onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero. Ou seja, precisamos encontrar e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso nos dá duas equações:

Passo 5

Vamos resolver essas equações tomando as possibilidades para e :
  • Primeira Equação ( ):
    • Caso 1:
    • Caso 2:
  • Segunda Equação ( ):
    • Caso A:
    • Caso B:

Passo 6

Vamos combinar os casos para encontrar todas as soluções possíveis:
  1. Caso 1 e Caso A:
    • e → Ponto crítico:
  2. Caso 1 e Caso B:
    • e → Ponto crítico:
  3. Caso 2 e Caso A:
    • e → Ponto crítico:
  4. Caso 2 e Caso B:
    • e
    • Substituindo na segunda equação:
    • Substituindo em :
    • Ponto crítico:

Passo 7

Então, os pontos críticos encontrados são:

Resposta

O número total de pontos críticos é: 4

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0
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5
As afirmações abaixo são falsas, apresente um exemplo que comprove a falsidade.
(e) Se então .
Resolva em as equações e as inequações abaixo:
(b) ;