Resolva em R as equações e as inequações abaixo:
(b) 1/(x-1) < 2/(x-2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade no conjunto dos números reais . Aqui, estamos lidando com desigualdades racionais, que envolvem frações com variáveis no denominador. Para resolver isso, vamos precisar achar os pontos críticos onde o denominador é zero e analisar os intervalos resultantes para determinar onde a desigualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer todas as parcelas para um lado da desigualdade para facilitar a comparação. Subtraímos de ambos os lados:

Passo 3

Agora, precisamos combinar essas duas frações em uma única fração. Para isso, encontramos o denominador comum, que é :
Simplificando o numerador:
Então, a desigualdade fica:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão multiplicando numerador e denominador por , o que inverte o sinal da desigualdade:
Agora, nossa tarefa é encontrar os valores de que tornam essa fração positiva.

Passo 5

Identificamos os pontos críticos onde o denominador é zero: e . Além disso, o numerador é zero quando . Esses pontos dividem a linha dos números reais em intervalos. Vamos analisar cada intervalo:
  1. Intervalo :
    • é negativo.
    • e também são negativos.
  2. Intervalo :
    • é positivo.
    • e são negativos.
    • ✔️
  3. Intervalo :
    • é positivo.
    • é positivo, mas é negativo.
  4. Intervalo :
    • é positivo.
    • e são positivos.
    • ✔️

Resposta

A solução da desigualdade é:

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