Encontre todos os pontos da curva
onde a reta tangente tem coeficiente angular igual a -1 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a curva definida pela equação
. O que a gente precisa descobrir são todos os pontos dessa curva onde a reta tangente tem coeficiente angular igual a -1. Isso envolve um pouco de cálculo, mais especificamente derivadas, pra gente achar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a reta tangente. A reta tangente a uma curva num ponto específico é a reta que “toca” a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva ali. A inclinação da reta tangente é dada pela derivada
.
Então, pra achar a inclinação da tangente à curva
em qualquer ponto
, vamos precisar derivar essa equação em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar implicitamente a equação
. Isso significa que vamos tratar
como uma função de
e aplicar a regra da cadeia quando derivarmos termos com
.
A derivada de
em relação a
é:
Já a derivada de
em relação a
é:
(Aqui usamos a regra da cadeia, multiplicando pela derivada de
em relação a
, que é
)
A derivada de 8 em relação a
é 0, já que é uma constante.
Então, colocando tudo junto:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Passo 5
Sabemos que queremos que a inclinação da reta tangente seja -1. Então:
Passo 6
Agora que sabemos que
, vamos substituir isso na equação original da curva para encontrar os valores de
e
:
Agora, vamos elevar ambos os lados à potência de
para resolver para
:
Então,
.
Resposta
Os pontos da curva onde a reta tangente tem coeficiente angular igual a -1 são
.