Encontre todos os pontos da curva x^(2/3) + y^(2/3) = 8 onde a reta tangente tem coeficiente angular igual a -1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a curva definida pela equação . O que a gente precisa descobrir são todos os pontos dessa curva onde a reta tangente tem coeficiente angular igual a -1. Isso envolve um pouco de cálculo, mais especificamente derivadas, pra gente achar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a reta tangente. A reta tangente a uma curva num ponto específico é a reta que “toca” a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva ali. A inclinação da reta tangente é dada pela derivada .
Então, pra achar a inclinação da tangente à curva em qualquer ponto , vamos precisar derivar essa equação em relação a .

Passo 3

Vamos derivar implicitamente a equação . Isso significa que vamos tratar como uma função de e aplicar a regra da cadeia quando derivarmos termos com .
A derivada de em relação a é:
Já a derivada de em relação a é:
(Aqui usamos a regra da cadeia, multiplicando pela derivada de em relação a , que é )
A derivada de 8 em relação a é 0, já que é uma constante.
Então, colocando tudo junto:

Passo 4

Agora, vamos resolver para :

Passo 5

Sabemos que queremos que a inclinação da reta tangente seja -1. Então:

Passo 6

Agora que sabemos que , vamos substituir isso na equação original da curva para encontrar os valores de e :
Agora, vamos elevar ambos os lados à potência de para resolver para :
Então, .

Resposta

Os pontos da curva onde a reta tangente tem coeficiente angular igual a -1 são .

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