Dê uma estimativa para o valor de k(0 < k < 1), tal que a região englobada por y = 1 / raiz(1 - x^2), y = x, x = 0 e x = k tenha uma área de 1 unidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um valor de entre 0 e 1 que faz com que a área da região delimitada pelas curvas , , e seja igual a 1 unidade. Vamos usar conceitos de cálculo integral para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas envolvidas:
  1. : Essa é uma parte da função hiperbólica relacionada à função trigonométrica seno inverso.
  2. : Essa é uma linha reta simples que passa pela origem com inclinação 45 graus.
  3. e : Esses são limites verticais que delimitam a região que vamos calcular a área.

Passo 3

Para encontrar a área entre duas curvas no intervalo de a , usamos a fórmula da integral definida:
Á
Aqui, é a função de cima e é a função de baixo.

Passo 4

No nosso caso, queremos que essa área seja igual a 1. Então, temos:
Vamos resolver essa integral para encontrar .

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
Agora, calculamos cada integral individualmente.

Passo 6

Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Sabemos que , então simplifica para:

Passo 8

Agora, precisamos resolver a equação:
Isso geralmente requer métodos numéricos, já que não há uma solução algébrica simples para . Vamos estimar usando aproximação.

Passo 9

Testando alguns valores:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Ainda não chegamos a 1. Vamos tentar :
Ainda não é suficiente. Parece que precisamos de bem próximo de 1.

Passo 10

Vamos tentar :
Quase lá! Tentando :
Ainda falta um pouco. Por fim, com :
Agora ultrapassamos 1. Então, está entre 0.995 e 0.998.

Resposta

O valor estimado de que satisfaz a condição dada é aproximadamente .

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