Dê uma estimativa para o valor de
, tal que a região englobada por
e
tenha uma área de 1 unidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um valor de
entre 0 e 1 que faz com que a área da região delimitada pelas curvas
,
,
e
seja igual a 1 unidade. Vamos usar conceitos de cálculo integral para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas envolvidas:
-
: Essa é uma parte da função hiperbólica relacionada à função trigonométrica seno inverso. -
: Essa é uma linha reta simples que passa pela origem com inclinação 45 graus. -
e : Esses são limites verticais que delimitam a região que vamos calcular a área.
Passo 3
Para encontrar a área entre duas curvas no intervalo de
a
, usamos a fórmula da integral definida:
Aqui,
é a função de cima e
é a função de baixo.
Passo 4
No nosso caso, queremos que essa área seja igual a 1. Então, temos:
Vamos resolver essa integral para encontrar
.
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes:
Agora, calculamos cada integral individualmente.
Passo 6
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que
, então simplifica para:
Passo 8
Agora, precisamos resolver a equação:
Isso geralmente requer métodos numéricos, já que não há uma solução algébrica simples para
. Vamos estimar
usando aproximação.
Passo 9
Testando alguns valores:
- Se
:
- Se
:
- Se
:
Ainda não chegamos a 1. Vamos tentar
:
Ainda não é suficiente. Parece que precisamos de
bem próximo de 1.
Passo 10
Vamos tentar
:
Quase lá! Tentando
:
Ainda falta um pouco. Por fim, com
:
Agora ultrapassamos 1. Então,
está entre 0.995 e 0.998.
Resposta
O valor estimado de
que satisfaz a condição dada é aproximadamente
.
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.
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e
é
. O valor dessa integral é
.
(2,0 pts) Use a Regra de L