Encontre todos os valores de lambda para os quais a matriz (A-lambda I4) tem inversa, em que
A=[cccc 2 & 0 & 0 & 0 2 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 1 & 0 3 & 2 & -1 & 2 ]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma matriz de ordem 4 e queremos encontrar todos os valores de para os quais a matriz tem inversa. Aqui, é a matriz identidade de 4 linhas e colunas. O conteúdo que vamos usar é de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e determinantes. Para resolver isso, vamos precisar entender quando uma matriz é invertível, e isso está ligado ao valor do determinante da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma coisa importante: uma matriz tem inversa se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Ou seja, para que seja invertível, precisamos que . Então, nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz e descobrir para quais valores de ele não é zero.

Passo 3

Vamos montar a matriz I4 = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 . A matriz identidade A - lambda I4 = 2 - lambda & 0 & 0 & 0 2 & -lambda & 0 & 0 1 & 2 & 1 - lambda & 0 3 & 2 & -1 & 2 - lambda é:
Subtraindo de , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para matrizes maiores, como essa de 4x4, é mais fácil expandir o determinante usando cofatores ou simplificar a matriz para facilitar o cálculo. Observando a matriz, percebemos que ela é quase triangular, o que facilita a simplificação.

Passo 5

Vamos aplicar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Contudo, aqui vamos simplificar observando que as primeiras três colunas têm muitos zeros, o que facilita a expansão do determinante. Calculando passo a passo:
det(A - lambda I4) = (2 - lambda) cdot det -lambda & 0 & 0 2 & 1 - lambda & 0 2 & -1 & 2 - lambda

Passo 6

Agora, vamos calcular o determinante da matriz 3x3 que ficou:
det -lambda & 0 & 0 2 & 1 - lambda & 0 2 & -1 & 2 - lambda = -lambda cdot det 1 - lambda & 0 -1 & 2 - lambda = -lambda cdot [(1 - lambda)(2 - lambda) - (0)(-1)] = -lambda (1 - lambda)(2 - lambda)

Passo 7

Substituindo de volta no determinante original:
det(A - lambda I4) = (2 - lambda) cdot [-lambda (1 - lambda)(2 - lambda)] = -lambda (1 - lambda)(2 - lambda)^2

Passo 8

Queremos que esse determinante seja diferente de zero:
-lambda (1 - lambda)(2 - lambda)^2 neq 0
Isso acontece quando nenhum dos fatores é zero. Então:
lambda neq 0, 1 - lambda neq 0 Rightarrow lambda neq 1, 2 - lambda neq 0 Rightarrow lambda neq 2

Resposta

Os valores de lambda in R setminus 0, 1, 2 para os quais tem inversa são todos os números reais exceto , e . Ou seja:

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