Encontre todos os valores de para os quais a matriz tem inversa, em que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma matriz de ordem 4 e queremos encontrar todos os valores de para os quais a matriz tem inversa. Aqui, é a matriz identidade de 4 linhas e colunas. O conteúdo que vamos usar é de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e determinantes. Para resolver isso, vamos precisar entender quando uma matriz é invertível, e isso está ligado ao valor do determinante da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma coisa importante: uma matriz tem inversa se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Ou seja, para que seja invertível, precisamos que . Então, nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz e descobrir para quais valores de ele não é zero.
Passo 3
Vamos montar a matriz . A matriz identidade é:
Subtraindo de , temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para matrizes maiores, como essa de 4x4, é mais fácil expandir o determinante usando cofatores ou simplificar a matriz para facilitar o cálculo. Observando a matriz, percebemos que ela é quase triangular, o que facilita a simplificação.
Passo 5
Vamos aplicar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Contudo, aqui vamos simplificar observando que as primeiras três colunas têm muitos zeros, o que facilita a expansão do determinante. Calculando passo a passo:
Passo 6
Agora, vamos calcular o determinante da matriz 3x3 que ficou:
Passo 7
Substituindo de volta no determinante original:
Passo 8
Queremos que esse determinante seja diferente de zero:
Isso acontece quando nenhum dos fatores é zero. Então:
Resposta
Os valores de para os quais tem inversa são todos os números reais exceto , e . Ou seja: