Sejam B=(b1, b2) e C=(c1, c2) bases pra o R^2. Determine a matriz mudança de coordenadas de B pra C e de C para B, onde
b1=[c -1 8 ], b2=[c 1 -7 ], c1=[l 1 2 ], c2=[l 1 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a matriz de mudança de coordenadas de uma base B para outra base C e vice-versa no espaço R^2. As bases são dadas por:
B = (b1 = -1 8, b2 = 1 -7)
C = (c1 = 1 2, c2 = 1 1)
Para resolver isso, vamos precisar saber como expressar os vetores de uma base em termos da outra base. Basicamente, queremos descobrir quais combinações lineares dos vetores de uma base resultam nos vetores da outra base.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de coordenadas de B para C, que chamaremos de MB to C. Essa matriz nos diz como converter as coordenadas de um vetor na base B para suas coordenadas na base C.
Para isso, precisamos expressar cada vetor da base B como combinação linear dos vetores da base C.

Passo 3

Vamos começar com o vetor b1 = -1 8. Queremos encontrar escalares a e b tais que:
b1 = a cdot c1 + b cdot c2
Substituindo os vetores:
-1 8 = a 1 2 + b 1 1 = a + b 2a + b
Isso nos dá o sistema de equações:
a + b = -1 2a + b = 8

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2a + b) - (a + b) = 8 - (-1) a = 9
Substituindo a = 9 na primeira equação:
9 + b = -1 b = -10
Portanto, b1 = 9 cdot c1 - 10 cdot c2.

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor b2 = 1 -7. Queremos encontrar escalares c e d tais que:
b2 = c cdot c1 + d cdot c2
Substituindo os vetores:
1 -7 = c 1 2 + d 1 1 = c + d 2c + d
Isso nos dá o sistema de equações:
c + d = 1 2c + d = -7

Passo 6

Resolvendo esse sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2c + d) - (c + d) = -7 - 1 c = -8
Substituindo c = -8 na primeira equação:
-8 + d = 1 d = 9
Portanto, b2 = -8 cdot c1 + 9 cdot c2.

Passo 7

Agora que expressamos os vetores de B em termos de C, podemos construir a matriz de mudança de coordenadas MB to C colocando esses coeficientes como colunas:
MB to C = 9 & -8 -10 & 9

Passo 8

Para encontrar a matriz de mudança de coordenadas de C para , B, precisamos fazer o processo inverso: expressar cada vetor da base MC to B em termos dos vetores da base C.
Vamos começar com B e c1 = 1 2.

Passo 9

Expressando c1 como combinação linear de B:
c1 = e cdot b1 + f cdot b2 = e -1 8 + f 1 -7 = -e + f 8e - 7f
Igualando aos componentes de c1:
-e + f = 1 8e - 7f = 2

Passo 10

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: f = e + 1
Substituindo na segunda equação:
8e - 7(e + 1) = 2 8e - 7e - 7 = 2 e = 9
Portanto, f = 9 + 1 = 10
Assim, c1 = 9 cdot b1 + 10 cdot b2

Passo 11

Agora, expressando c2 = 1 1 como combinação linear de B:
c2 = g cdot b1 + h cdot b2 = g -1 8 + h 1 -7 = -g + h 8g - 7h
Igualando aos componentes de c2:
-g + h = 1 8g - 7h = 1

Passo 12

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: h = g + 1
Substituindo na segunda equação:
8g - 7(g + 1) = 1 8g - 7g - 7 = 1 g = 8
Portanto, h = 8 + 1 = 9
Assim, c2 = 8 cdot b1 + 9 cdot b2

Passo 13

Com esses coeficientes, construímos a matriz de mudança de coordenadas MC to B colocando-os como colunas:
MC to B = 9 & 8 10 & 9

Resposta

A matriz de mudança de coordenadas de B para C é:
MB to C = 9 & -8 -10 & 9
E a matriz de mudança de coordenadas de C para B é:
MC to B = 9 & 8 10 & 9

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