Sejam
e
bases pra o
. Determine a matriz mudança de coordenadas de
pra
e de
para
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a matriz de mudança de coordenadas de uma base
para outra base
e vice-versa no espaço
. As bases são dadas por:
Para resolver isso, vamos precisar saber como expressar os vetores de uma base em termos da outra base. Basicamente, queremos descobrir quais combinações lineares dos vetores de uma base resultam nos vetores da outra base.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de coordenadas de
para
, que chamaremos de
. Essa matriz nos diz como converter as coordenadas de um vetor na base
para suas coordenadas na base
.
Para isso, precisamos expressar cada vetor da base
como combinação linear dos vetores da base
.
Passo 3
Vamos começar com o vetor
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Substituindo os vetores:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Substituindo os vetores:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo esse sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Portanto,
.
Passo 7
Agora que expressamos os vetores de
em termos de
, podemos construir a matriz de mudança de coordenadas
colocando esses coeficientes como colunas:
Passo 8
Para encontrar a matriz de mudança de coordenadas de
para ,
, precisamos fazer o processo inverso: expressar cada vetor da base
em termos dos vetores da base
.
Vamos começar com
e
.
Passo 9
Expressando
como combinação linear de
:
Igualando aos componentes de
:
Passo 10
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Portanto,
Assim,
Passo 11
Agora, expressando
como combinação linear de
:
Igualando aos componentes de
:
Passo 12
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Portanto,
Assim,
Passo 13
Com esses coeficientes, construímos a matriz de mudança de coordenadas
colocando-os como colunas:
Resposta
A matriz de mudança de coordenadas de
para
é:
E a matriz de mudança de coordenadas de
para
é:
Exercícios relacionados
Seja
, onde
e
são números reais. Se
, determine
.
Os pontos abaixo foram fornecidos em coordenadas polares. Passe para coordenas cartesianas:
(i)
(i)
Calcule a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação do rendimentos do processo químico para cada nível de temperatura. Com base nesses resultados, escolha a melhor temperatura para o processo químico. Justifique.
Encontre todos os valores de
para os quais a matriz
tem inversa, em que