Sejam e bases pra o . Determine a matriz mudança de coordenadas de pra e de para , onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a matriz de mudança de coordenadas de uma base para outra base e vice-versa no espaço . As bases são dadas por:
Para resolver isso, vamos precisar saber como expressar os vetores de uma base em termos da outra base. Basicamente, queremos descobrir quais combinações lineares dos vetores de uma base resultam nos vetores da outra base.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de coordenadas de para , que chamaremos de . Essa matriz nos diz como converter as coordenadas de um vetor na base para suas coordenadas na base .
Para isso, precisamos expressar cada vetor da base como combinação linear dos vetores da base .

Passo 3

Vamos começar com o vetor . Queremos encontrar escalares e tais que:
Substituindo os vetores:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor . Queremos encontrar escalares e tais que:
Substituindo os vetores:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo esse sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, .

Passo 7

Agora que expressamos os vetores de em termos de , podemos construir a matriz de mudança de coordenadas colocando esses coeficientes como colunas:

Passo 8

Para encontrar a matriz de mudança de coordenadas de para , , precisamos fazer o processo inverso: expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base .
Vamos começar com e .

Passo 9

Expressando como combinação linear de :
Igualando aos componentes de :

Passo 10

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Portanto,
Assim,

Passo 11

Agora, expressando como combinação linear de :
Igualando aos componentes de :

Passo 12

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Portanto,
Assim,

Passo 13

Com esses coeficientes, construímos a matriz de mudança de coordenadas colocando-os como colunas:

Resposta

A matriz de mudança de coordenadas de para é:
E a matriz de mudança de coordenadas de para é:

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Seja , onde e são números reais. Se , determine .
Os pontos abaixo foram fornecidos em coordenadas polares. Passe para coordenas cartesianas:
(i)
Calcule a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação do rendimentos do processo químico para cada nível de temperatura. Com base nesses resultados, escolha a melhor temperatura para o processo químico. Justifique.
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