Encontre todos os valores de t in R tais que det A=0, onde:
A=[cct-1 & 5 3 & t+1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os valores de A = t-1 & 5 3 & t+1 nos reais ( ) que fazem com que o determinante da matriz seja igual a zero. A matriz é dada por:
Vamos precisar entender o que é determinante de uma matriz e como calculá-lo para uma matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz M = a & b c & d . Se tivermos uma matriz:
det M = ad - bc
O determinante de , denotado por , é calculado assim:
Isso significa que multiplicamos os elementos da diagonal principal ( e ) e subtraímos o produto dos elementos da diagonal secundária ( e ).

Passo 3

Aplicando essa fórmula à nossa matriz A = t-1 & 5 3 & t+1 , temos:
det A = (t-1)(t+1) - (5)(3)
Então, o determinante de é:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 4

Primeiro, multiplicamos os termos da primeira parte:
(t-1)(t+1) = t cdot t + t cdot 1 - 1 cdot t - 1 cdot 1 = t^2 + t - t - 1 = t^2 - 1
Então, substituindo de volta na expressão do determinante:
det A = t^2 - 1 - 15 = t^2 - 16

Passo 5

Agora, queremos encontrar os valores de t^2 - 16 = 0 que fazem com que . Então, temos a equação:
Vamos resolver essa equação para .

Passo 6

A equação t^2 = 16 é uma equação quadrática. Podemos resolvê-la adicionando 16 em ambos os lados:
t = pm raiz16 implies t = pm 4
Então, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

Os valores de que satisfazem são e .

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