Seja A, B in M2 times 2(R).
(b) Se C=(ccc0 & -1 & 1 raiz2 & -2 & 1 5 & 4 & 5), calcule a matriz adjunta de C.

Passo 1

Então, temos que calcular a matriz adjunta da matriz C. A adjunta de uma matriz é basicamente a transposta da matriz de cofatores. Para fazer isso, vamos precisar calcular os cofatores de cada elemento de C e depois transpor essa matriz de cofatores. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cofator de um elemento cij é dado por Cij = (-1)^i+j cdot Mij, onde Mij é o menor de cij, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando retiramos a linha i e a coluna j.

Passo 3

Vamos calcular M11, que é o menor de c11 = 0:
M11 = det -2 & 1 4 & 5 = (-2)(5) - (1)(4) = -10 - 4 = -14
Então, C11 = (-1)^1+1 cdot (-14) = 1 cdot (-14) = -14.

Passo 4

Agora, vamos calcular M12, o menor de c12 = -1:
M12 = det raiz2 & 1 5 & 5 = (raiz2)(5) - (1)(5) = 5raiz2 - 5
Então, C12 = (-1)^1+2 cdot (5raiz2 - 5) = -1 cdot (5raiz2 - 5) = -5raiz2 + 5.

Passo 5

Vamos calcular M13, o menor de c13 = 1:
M13 = det raiz2 & -2 5 & 4 = (raiz2)(4) - (-2)(5) = 4raiz2 + 10
Então, C13 = (-1)^1+3 cdot (4raiz2 + 10) = -1 cdot (4raiz2 + 10) = -4raiz2 - 10.

Passo 6

Repetimos o processo para a segunda linha:
Para c21 = raiz2:
M21 = det -1 & 1 4 & 5 = (-1)(5) - (1)(4) = -5 - 4 = -9
C21 = (-1)^2+1 cdot (-9) = -1 cdot (-9) = 9.
Para c22 = -2:
M22 = det 0 & 1 5 & 5 = (0)(5) - (1)(5) = 0 - 5 = -5
C22 = (-1)^2+2 cdot (-5) = 1 cdot (-5) = -5.
Para c23 = 1:
M23 = det 0 & -1 5 & 4 = (0)(4) - (-1)(5) = 0 + 5 = 5
C23 = (-1)^2+3 cdot 5 = -1 cdot 5 = -5.

Passo 7

Agora, para a terceira linha:
Para c31 = 5:
M31 = det -1 & 1 -2 & 1 = (-1)(1) - (1)(-2) = -1 + 2 = 1
C31 = (-1)^3+1 cdot 1 = 1 cdot 1 = 1.
Para c32 = 4:
M32 = det 0 & 1 raiz2 & 1 = (0)(1) - (1)(raiz2) = 0 - raiz2 = -raiz2
C32 = (-1)^3+2 cdot (-raiz2) = -1 cdot (-raiz2) = raiz2.
Para c33 = 5:
M33 = det 0 & -1 raiz2 & -2 = (0)(-2) - (-1)(raiz2) = 0 + raiz2 = raiz2
C33 = (-1)^3+3 cdot raiz2 = 1 cdot raiz2 = raiz2.

Passo 8

Agora, montamos a matriz de cofatores C:
C = -14 & -5raiz2 + 5 & -4raiz2 - 10 9 & -5 & -5 1 & raiz2 & raiz2

Passo 9

Por fim, transpondo a matriz de cofatores para obter a matriz adjunta adj(C):
adj(C) = C^T = -14 & 9 & 1 -5raiz2 + 5 & -5 & raiz2 -4raiz2 - 10 & -5 & raiz2

Resposta

A matriz adjunta de C é:
adj(C) = -14 & 9 & 1 -5raiz2 + 5 & -5 & raiz2 -4raiz2 - 10 & -5 & raiz2

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