Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
a)
a)
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente representar a função
como uma série de potências e encontrar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências tem a forma geral:
Onde
são os coeficientes da série e
é o centro da série. No nosso caso, vamos centralizar em
para simplificar, então a série fica:
Passo 3
Agora, queremos escrever
de uma forma que se pareça com a soma de uma série geométrica. Lembre-se que uma série geométrica tem a forma:
Comparando com nossa função, queremos que
seja igual a
. Então, vamos rearranjar:
Passo 4
Expandindo a série, temos:
Então, nossa série de potências para
é:
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência
, usamos a condição de convergência para a série geométrica, que é
. No nosso caso,
, então:
Então, o raio de convergência é
.
Passo 6
Com o raio de convergência, podemos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que
, então:
Resposta
A série de potências de
é:
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
Exercícios relacionados
Utilizando a série binomial escreva as funções como séries de potências e diga seus raios de convergência
b)
b)
Seja
. Encontre o polinômio de Taylor de terceiro grau para
centrado
.
Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
f)
f)
Encontre todos os valores de
e
que tornam a função contínua em (
.