Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
a) g(x) = 1 / (1 + 4 x^2)

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente representar a função como uma série de potências e encontrar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências tem a forma geral:
Onde são os coeficientes da série e é o centro da série. No nosso caso, vamos centralizar em para simplificar, então a série fica:

Passo 3

Agora, queremos escrever de uma forma que se pareça com a soma de uma série geométrica. Lembre-se que uma série geométrica tem a forma:
Comparando com nossa função, queremos que seja igual a . Então, vamos rearranjar:

Passo 4

Expandindo a série, temos:
Então, nossa série de potências para é:

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência , usamos a condição de convergência para a série geométrica, que é . No nosso caso, , então:
Então, o raio de convergência é .

Passo 6

Com o raio de convergência, podemos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que , então:

Resposta

A série de potências de é:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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