Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para representar a função
como uma série de potências e determinar o raio e o intervalo de convergência. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo das séries de potências dentro do cálculo, que nos permite expressar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de
. Para resolver, vamos precisar transformar a função em uma forma que se assemelhe a uma série geométrica, que é mais fácil de trabalhar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma maneira que facilite a identificação de uma série geométrica. Podemos fatorar o denominador:
Agora, temos:
Passo 3
Sabemos que a série geométrica é dada por:
Essa série converge quando
. Comparando com o que temos, identificamos
.
Passo 4
Substituindo
na série geométrica, temos:
Multiplicando tudo por
para obter a série de potências da função original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando
, ou seja:
O raio de convergência é
, e o intervalo de convergência é
.
Resposta
A série de potências que representa a função
é:
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.