Encontre o trabalho realizado pela força F(x, y) = (2x + y, x - 3y) ao mover uma partícula ao longo da linha reta de (0,0) até 1,2.

Passo 1

A gente precisa encontrar o trabalho realizado pela força quando uma partícula se movimenta ao longo de uma linha reta que vai do ponto (0,0) até 1,2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de linha, que calcula o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho específico.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho da partícula. Como é uma linha reta, podemos definir uma parametrização simples. Vamos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1:
Aqui, corresponde ao ponto (0,0) e ao ponto 1,2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização em relação a t, que nos dá o vetor tangente ao caminho:

Passo 4

Substituímos a parametrização na força para expressá-la em termos de t:

Passo 5

O trabalho realizado é dado pela integral do produto escalar da força pelo vetor tangente ao caminho:
Calculando a integral:

Resposta

O trabalho realizado pela força é unidades de trabalho.

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