Verifique o Teorema de Green para , onde é o quadrado com vértices em , .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar o Teorema de Green para a integral de contorno , onde é um quadrado com vértices em , , e . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de contorno a uma integral dupla sobre a região limitada por esse contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções e na integral dada. A integral está na forma , então aqui temos:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
onde é a região dentro do contorno .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, a integral dupla fica:
A integral representa a área da região .
Passo 6
Como é um quadrado com lado de comprimento 2, a área é: