Verifique o Teorema de Green para ointC x d y-y d x, onde C é o quadrado com vértices em (0,0),(2,0), (2,2),(0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar o Teorema de Green para a integral de contorno , onde é um quadrado com vértices em , , e . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de contorno a uma integral dupla sobre a região limitada por esse contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P = -y e Q = x e na integral dada. A integral está na forma , então aqui temos:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC P, dx + Q, dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx, dy
onde é a região dentro do contorno .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial (-y)partial y = -1
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 5

Agora, a integral dupla fica:
integral duplaD 2, dx, dy = 2 integral duplaD dx, dy
A integral representa a área da região .

Passo 6

Como Área = 2 times 2 = 4 é um quadrado com lado de comprimento 2, a área é:
2 times 4 = 8 Á
Então, a integral dupla fica:

Resposta

O valor da integral é 8.

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