Verifique o Teorema de Green para , onde é o quadrado com vértices em , .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar o Teorema de Green para a integral de contorno , onde é um quadrado com vértices em , , e . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de contorno a uma integral dupla sobre a região limitada por esse contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral dada. A integral está na forma , então aqui temos:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
onde é a região dentro do contorno .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:

Passo 5

Agora, a integral dupla fica:
A integral representa a área da região .

Passo 6

Como é um quadrado com lado de comprimento 2, a área é:
Á
Então, a integral dupla fica:

Resposta

O valor da integral é 8.

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sujeita às condições indicadas.
c)
Use o Teorema de Green para calcular a circulação do campo ao redor da região limitada pela parábola e a linha .
Use o Teorema de Green para calcular a circulação de ao redor da região triangular com vértices em , e .