Verifique o Teorema de Green para
, onde
é o quadrado com vértices em
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar o Teorema de Green para a integral de contorno
, onde
é um quadrado com vértices em
,
,
e
. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de contorno a uma integral dupla sobre a região limitada por esse contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral dada. A integral está na forma
, então aqui temos:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
onde
é a região dentro do contorno
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, a integral dupla fica:
A integral
representa a área da região
.
Passo 6
Como
é um quadrado com lado de comprimento 2, a área é:
Então, a integral dupla fica:
Resposta
O valor da integral
é 8.