Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia aqui é pegar cada função primitiva dada e encontrar a equação diferencial correspondente. Para isso, vamos precisar usar derivadas, já que uma primitiva é basicamente a antiderivada de uma função. Também vamos precisar eliminar as constantes
e
para chegar na equação diferencial final.
Passo 2
a)
Primeiro, vamos derivar
em relação a
:
Como
é uma constante, a segunda derivada será:
Então, a equação diferencial associada é:
Passo 3
b)
Derivando
em relação a
:
A segunda derivada é:
A equação diferencial é a mesma que no item a):
Passo 4
c)
Primeiro, vamos simplificar a expressão:
Agora, derivamos em relação a
:
A segunda derivada é:
Observamos que:
Então, a equação diferencial é:
Passo 5
d)
Derivando
em relação a
:
A segunda derivada é:
Então, a equação diferencial é:
Passo 6
e)
Usando a identidade trigonométrica:
Derivando em relação a
:
A segunda derivada é:
Então, a equação diferencial é:
Passo 7
f)
Derivando
em relação a
:
A segunda derivada é:
Observamos que:
Então, a equação diferencial é:
Passo 8
g)
Primeiro, vamos reescrever a função para expressar
em termos de
, mas isso pode ser complicado. Em vez disso, vamos diferenciar ambos os lados em relação a
:
Isolando
:
Para obter uma equação diferencial, podemos diferenciar novamente:
Então, a equação diferencial associada é mais complexa:
Passo 9
h)
Primeiro, vamos resolver para
:
Derivando
em relação a
:
A segunda derivada:
Então, a equação diferencial é:
Resposta
As equações diferenciais associadas são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)