Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.
a) y = A x
b) y = A x + B
c) y = e^(x + A) + B e^(x)
d) y = A sen(x)
e) y = sen(x + A)
f) y = A * e^(x) + B
g) x = A sen(y + B)
h) ln y = A x^2 + B

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia aqui é pegar cada função primitiva dada e encontrar a equação diferencial correspondente. Para isso, vamos precisar usar derivadas, já que uma primitiva é basicamente a antiderivada de uma função. Também vamos precisar eliminar as constantes e para chegar na equação diferencial final.

Passo 2

a)
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Como é uma constante, a segunda derivada será:
Então, a equação diferencial associada é:

Passo 3

b)
Derivando em relação a :
A segunda derivada é:
A equação diferencial é a mesma que no item a):

Passo 4

c)
Primeiro, vamos simplificar a expressão:
Agora, derivamos em relação a :
A segunda derivada é:
Observamos que:
Então, a equação diferencial é:

Passo 5

d)
Derivando em relação a :
A segunda derivada é:
Então, a equação diferencial é:

Passo 6

e)
Usando a identidade trigonométrica:
Derivando em relação a :
A segunda derivada é:
Então, a equação diferencial é:

Passo 7

f)
Derivando em relação a :
A segunda derivada é:
Observamos que:
Então, a equação diferencial é:

Passo 8

g)
Primeiro, vamos reescrever a função para expressar em termos de , mas isso pode ser complicado. Em vez disso, vamos diferenciar ambos os lados em relação a :
Isolando :
Para obter uma equação diferencial, podemos diferenciar novamente:
Então, a equação diferencial associada é mais complexa:

Passo 9

h)
Primeiro, vamos resolver para :
Derivando em relação a :
A segunda derivada:
Então, a equação diferencial é:

Resposta

As equações diferenciais associadas são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

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