Resolva a equação da onda
sujeita às condições indicadas.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação da onda que é dada por:
Temos também as condições de contorno e iniciais:
Vamos precisar usar a separação de variáveis e a série de Fourier para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende de
u(x, t) = X(x)T(t) e outra de
:
Isso ajuda a separar as varições de espaço e tempo na equação.
Passo 3
Substituímos
a^2 X''(x)T(t) = X(x)T''(t) na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 4
Resolvemos a equação espacial:
Com as condições de contorno
lambdaa^2 = (na)^2 para n = 1, 2, 3, dots , as soluções não triviais ocorrem quando:
Portanto, os autovalores são:
E os autovetores são:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação temporal para cada
T''(t) + lambdan a^2 T(t) = 0 :
Substituindo
Tn(t) = An cos(n t) + Bn sin(n t) :
As soluções dessa equação são combinações de seno e cosseno:
Passo 6
A solução geral é uma soma das soluções separadas para todos os modos
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(n t) + Bn sin(n t) ] sin(n xa) :
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para encontrar os coeficientes
0 = sumn=1^infty An sin(n xa) e
.
Primeiro,
:
Isso implica que
para todos os
.
Passo 8
Agora, usamos a condição
partial upartial t|t=0 = sumn=1^infty Bn n cos(0) sin(n xa) = sumn=1^infty Bn n sin(n xa) = sin x :
Para que isso seja válido para todo
, precisamos que
sejam os coeficientes de Fourier da função
.
Passo 9
Observamos que
B1 cdot 1 = 1 Rightarrow B1 = 1 já é um modo da série quando
. Portanto, apenas o termo com
contribui:
E para
,
.
Resposta
A solução da equação da onda é: