Resolva a equação da onda
a^2 partial^2 upartial x^2=partial^2 upartial t^2, 00
sujeita às condições indicadas.
c) lu(0, t)=u(pi, t)=0 u(x, 0)=0,partial upartial t|t=0=sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação da onda que é dada por:
a^2 partial^2 upartial x^2 = partial^2 upartial t^2, 0 < x < pi, t > 0
Temos também as condições de contorno e iniciais:
u(0, t) = u(pi, t) = 0 u(x, 0) = 0 partial upartial t|t=0 = sin x
Vamos precisar usar a separação de variáveis e a série de Fourier para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende de u(x, t) = X(x)T(t) e outra de :
Isso ajuda a separar as varições de espaço e tempo na equação.

Passo 3

Substituímos a^2 X''(x)T(t) = X(x)T''(t) na equação da onda:
a^2 X''(x)X(x) = T''(t)T(t) = -lambda
Dividindo ambos os lados por , obtemos:
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 4

Resolvemos a equação espacial:
X''(x) + lambdaa^2 X(x) = 0
Com as condições de contorno lambdaa^2 = (na)^2 para n = 1, 2, 3, dots , as soluções não triviais ocorrem quando:
lambdan = (na)^2
Portanto, os autovalores são:
Xn(x) = sin(n xa)
E os autovetores são:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação temporal para cada T''(t) + lambdan a^2 T(t) = 0 :
T''(t) + n^2 T(t) = 0
Substituindo Tn(t) = An cos(n t) + Bn sin(n t) :
As soluções dessa equação são combinações de seno e cosseno:

Passo 6

A solução geral é uma soma das soluções separadas para todos os modos u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(n t) + Bn sin(n t) ] sin(n xa) :

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para encontrar os coeficientes 0 = sumn=1^infty An sin(n xa) e .
Primeiro, :
Isso implica que para todos os .

Passo 8

Agora, usamos a condição partial upartial t|t=0 = sumn=1^infty Bn n cos(0) sin(n xa) = sumn=1^infty Bn n sin(n xa) = sin x :
Para que isso seja válido para todo , precisamos que sejam os coeficientes de Fourier da função .

Passo 9

Observamos que B1 cdot 1 = 1 Rightarrow B1 = 1 já é um modo da série quando . Portanto, apenas o termo com contribui:
E para , .

Resposta

A solução da equação da onda é:
u(x, t) = sin(xa) sin(t)

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