Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a família de curvas dada pela equação
. Nosso objetivo aqui é encontrar as trajetórias ortogonais a essa família. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente no estudo de trajetórias ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar as inclinações das curvas e então determinar as que são perpendiculares a elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da família de curvas dada. Para isso, derivamos a equação
em relação a
:
Isso dá:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Então,
Passo 4
As trajetórias ortogonais têm derivadas que são o negativo do inverso das derivadas das curvas originais. Então, a derivada para as trajetórias ortogonais será:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Vamos resolver essa equação para encontrar a família de trajetórias ortogonais. Para simplificar, podemos usar métodos de separação de variáveis ou outras técnicas de resolução de equações diferenciais. Nesse caso, uma substituição adequada ajudará a resolver a equação.
Passo 6
A equação diferencial pode ser reescrita da seguinte forma para facilitar a resolução:
Observando que essa é uma equação diferencial exata, podemos integrar diretamente.
Passo 7
Integrando os termos:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Finalmente, organizamos a equação para expressar as trajetórias ortogonais:
Podemos multiplicar tudo por 2 para simplificar:
Podemos renomear
como uma nova constante
:
Resposta
As trajetórias ortogonais à família de curvas
são dadas por
, onde
é uma constante.
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Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo: