Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a família de curvas dada pela equação . Nosso objetivo aqui é encontrar as trajetórias ortogonais a essa família. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente no estudo de trajetórias ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar as inclinações das curvas e então determinar as que são perpendiculares a elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da família de curvas dada. Para isso, derivamos a equação em relação a :
Isso dá:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar :
Então,

Passo 4

As trajetórias ortogonais têm derivadas que são o negativo do inverso das derivadas das curvas originais. Então, a derivada para as trajetórias ortogonais será:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Vamos resolver essa equação para encontrar a família de trajetórias ortogonais. Para simplificar, podemos usar métodos de separação de variáveis ou outras técnicas de resolução de equações diferenciais. Nesse caso, uma substituição adequada ajudará a resolver a equação.

Passo 6

A equação diferencial pode ser reescrita da seguinte forma para facilitar a resolução:
Observando que essa é uma equação diferencial exata, podemos integrar diretamente.

Passo 7

Integrando os termos:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, organizamos a equação para expressar as trajetórias ortogonais:
Podemos multiplicar tudo por 2 para simplificar:
Podemos renomear como uma nova constante :

Resposta

As trajetórias ortogonais à família de curvas são dadas por , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes EDO
Resolva as seguintes EDO
Resolva as seguintes EDO
Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo: