Resolva as seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você enviou:
Aqui, a gente vai usar um conteúdo da matemática chamado Equação de Bernoulli, que é uma técnica para resolver certos tipos de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar identificar os termos e fazer umas substituições básicas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para deixá-la mais fácil de trabalhar. Dividimos ambos os lados por
:
Simplificando os termos:
Aqui, usamos que
e somamos os expoentes de
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação no formato da Equação de Bernoulli, que é:
Comparando com a nossa equação:
Passo 4
A Equação de Bernoulli pode ser linearizada fazendo uma substituição. Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituímos
na equação original em termos de
e
:
Multiplicando todos os termos por
para simplificar:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear em
:
Para resolver, vamos encontrar o fator integrante:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Isso simplifica para a forma:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Multiplicando por
para isolar
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Para encontrar
, elevamos ambos os lados à potência
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
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Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo: