Resolva as seguintes EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você enviou:
Aqui, a gente vai usar um conteúdo da matemática chamado Equação de Bernoulli, que é uma técnica para resolver certos tipos de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar identificar os termos e fazer umas substituições básicas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para deixá-la mais fácil de trabalhar. Dividimos ambos os lados por :
Simplificando os termos:
Aqui, usamos que e somamos os expoentes de .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação no formato da Equação de Bernoulli, que é:
Comparando com a nossa equação:

Passo 4

A Equação de Bernoulli pode ser linearizada fazendo uma substituição. Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 5

Substituímos na equação original em termos de e :
Multiplicando todos os termos por para simplificar:

Passo 6

Agora, temos uma equação linear em :
Para resolver, vamos encontrar o fator integrante:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Isso simplifica para a forma:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Multiplicando por para isolar :

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:
Para encontrar , elevamos ambos os lados à potência :

Resposta

A solução geral da EDO é:

onde é a constante de integração.

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Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo: