Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por:
Aqui, estamos lidando com geometria analítica e equações diferenciais. Para encontrar as trajetórias ortogonais, vamos precisar entender como derivar uma equação que descreva essas curvas perpendiculares às da família original.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada para facilitar nosso trabalho. Vamos expandir:
Expandindo o binômio:
Agora, podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Passo 3
Vamos isolar
na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora temos
em termos de
e
.
Passo 4
Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos derivar a equação da família de curvas em relação a
. Vamos derivar
:
Aplicando a regra da derivada para quocientes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, sabemos que as trajetórias ortogonais têm inclinações que são negativas recíprocas das inclinações das curvas originais. Ou seja, se
é a derivada da família original, então a derivada das trajetórias ortogonais será
.
Vamos assumir que a derivada da família original seja
(essa suposição vem da derivação implícita da equação original). Portanto, a derivada para as trajetórias ortogonais será:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Essa é uma equação diferencial homogênea que podemos resolver separando as variáveis:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Como
é apenas uma constante positiva, podemos representá-la como
:
Onde
é uma constante.
Resposta
As trajetórias ortogonais são retas que passam pela origem, dadas por:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes EDO
Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo:
Resolva as seguintes EDO
Resolva as seguintes EDO