Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por:
Aqui, estamos lidando com geometria analítica e equações diferenciais. Para encontrar as trajetórias ortogonais, vamos precisar entender como derivar uma equação que descreva essas curvas perpendiculares às da família original.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada para facilitar nosso trabalho. Vamos expandir:
Expandindo o binômio:
Agora, podemos simplificar cancelando dos dois lados:

Passo 3

Vamos isolar na equação:
Dividindo ambos os lados por :
Agora temos em termos de e .

Passo 4

Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos derivar a equação da família de curvas em relação a . Vamos derivar :
Aplicando a regra da derivada para quocientes:
Simplificando:

Passo 5

Agora, sabemos que as trajetórias ortogonais têm inclinações que são negativas recíprocas das inclinações das curvas originais. Ou seja, se é a derivada da família original, então a derivada das trajetórias ortogonais será .
Vamos assumir que a derivada da família original seja (essa suposição vem da derivação implícita da equação original). Portanto, a derivada para as trajetórias ortogonais será:

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Essa é uma equação diferencial homogênea que podemos resolver separando as variáveis:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para resolver para :
Como é apenas uma constante positiva, podemos representá-la como :
Onde é uma constante.

Resposta

As trajetórias ortogonais são retas que passam pela origem, dadas por:

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