Resolva as seguintes EDO

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de EDOs de primeira ordem, especialmente a técnica de substituição para equações homogêneas.
O que vamos precisar: Entender como fazer substituições para simplificar a equação e saber integrar funções que aparecem durante a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da EDO. Temos:
A EDO pode ser escrita como:

Passo 3

Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, comparamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante ou usar uma substituição adequada.

Passo 4

Observando a equação, notamos que é homogênea, pois todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos como uma função de . Vamos usar a substituição:
Diferenciando ambos os lados em relação a :

Passo 5

Substituímos e na EDO original:
Simplificando:

Passo 6

Dividimos toda a equação por para simplificar:
Rearranjando:

Passo 7

Vamos separar as variáveis e :
Agora, vamos integrar ambos os lados.

Passo 8

Integrando:
A integral à esquerda é e à direita é , onde é a constante de integração.

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:
Essa é a solução implícita da EDO. Se quiser, podemos isolar :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
onde é a constante de integração.

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Resolva as seguintes EDO
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