Resolva as seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de EDOs de primeira ordem, especialmente a técnica de substituição para equações homogêneas.
O que vamos precisar: Entender como fazer substituições para simplificar a equação e saber integrar funções que aparecem durante a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da EDO. Temos:
A EDO pode ser escrita como:
Passo 3
Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, comparamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante ou usar uma substituição adequada.
Passo 4
Observando a equação, notamos que é homogênea, pois todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos
como uma função de
. Vamos usar a substituição:
Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Substituímos
e
na EDO original:
Simplificando:
Passo 6
Dividimos toda a equação por
para simplificar:
Rearranjando:
Passo 7
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados.
Passo 8
Integrando:
A integral à esquerda é
e à direita é
, onde
é a constante de integração.
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Essa é a solução implícita da EDO. Se quiser, podemos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é dada por:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo:
Resolva as seguintes EDO
Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo:
Resolva as seguintes EDO