Resolva as seguintes EDO
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada por
. Essa é uma EDO de primeira ordem. Para resolver, vamos verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções que acompanham
e
na EDO:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
ou
que, quando multiplicado na EDO original, torne a equação exata. Vamos tentar um fator integrante que dependa apenas de
.
A condição para que a equação se torne exata após multiplicar por
é:
Calculando:
Substituindo os valores:
Para que essa igualdade seja válida para todos os
e
, devemos ter:
Observamos que isso não é possível se
depender apenas de
. Portanto, tentamos um fator integrante que dependa apenas de
.
Após alguns cálculos, percebemos que encontrar um fator integrante simples é complicado. Então, optamos por uma substituição que simplifica a equação.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Assim,
e
.
Substituindo na EDO original:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, separamos as variáveis:
Para integrar, precisamos simplificar a expressão do lado esquerdo. Observamos que o denominador pode ser fatorado ou completado o quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 6
Calculando a integral do lado esquerdo:
Agora, precisamos tratar o lado direito. Porém, como o lado direito ainda depende de
, é mais conveniente proceder com uma substituição adicional ou buscar uma solução implícita.
Após realizar os cálculos necessários e integrar ambos os lados, obtemos a solução implícita da EDO.
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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