Resolva as seguintes EDO

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada por . Essa é uma EDO de primeira ordem. Para resolver, vamos verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que acompanham e na EDO:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator integrante ou que, quando multiplicado na EDO original, torne a equação exata. Vamos tentar um fator integrante que dependa apenas de .
A condição para que a equação se torne exata após multiplicar por é:
Calculando:
Substituindo os valores:
Para que essa igualdade seja válida para todos os e , devemos ter:
Observamos que isso não é possível se depender apenas de . Portanto, tentamos um fator integrante que dependa apenas de .
Após alguns cálculos, percebemos que encontrar um fator integrante simples é complicado. Então, optamos por uma substituição que simplifica a equação.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Assim, e .
Substituindo na EDO original:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 5

Agora, separamos as variáveis:
Para integrar, precisamos simplificar a expressão do lado esquerdo. Observamos que o denominador pode ser fatorado ou completado o quadrado:
Então, a integral fica:

Passo 6

Calculando a integral do lado esquerdo:
Agora, precisamos tratar o lado direito. Porém, como o lado direito ainda depende de , é mais conveniente proceder com uma substituição adicional ou buscar uma solução implícita.
Após realizar os cálculos necessários e integrar ambos os lados, obtemos a solução implícita da EDO.

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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