Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
com a condição inicial . Nosso objetivo é resolver essa EDO para encontrar a função . Para isso, vamos precisar usar técnicas de manipulação de equações diferenciais e entender bem como trabalhar com essas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para encontrar uma relação mais clara entre e . Podemos reescrever a equação original dividindo ambos os lados por :
Agora, isolamos :
Passo 3
Essa expressão ainda está bem complicada, então vamos tentar uma substituição para simplificar. Observando a presença de , podemos usar coordenadas polares ou uma substituição que envolva . Vamos optar por , que implica .
Passo 4
Com , derivamos em relação a :
Mas como estamos trabalhando com , precisamos inverter essa relação:
Substituindo na equação original:
Passo 5
Igualando as duas expressões para :
Vamos simplificar e separar as variáveis:
Isso ainda está complicado, então reconsideramos a substituição ou tentamos outra abordagem.
Passo 6
Vamos tentar rearranjar a equação original para obter uma forma exata ou identificar um fator integrante. Observando:
Podemos reescrever como:
Para verificar se é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante.
Passo 7
Vamos procurar um fator integrante que dependa somente de ou somente de . Tentamos um fator :
A condição para exatidão é:
Calculando:
Essa expressão é muito complexa, indicando que talvez um fator integrante simples não funcione. Alternativamente, poderíamos tentar a substituição polar novamente.
Passo 8
Voltando à substituição , onde , e .
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Distribuindo:
Rearranjando termos:
Passo 9
Agora, conseguimos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Passo 10
Resolvendo a integral do lado direito:
Agora, vamos resolver a integral do lado esquerdo. Simplificando a expressão:
Assim, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Passo 11
Substituindo :
Simplificando:
Passo 12
Aplicando a condição inicial , embora aqui possa causar problemas de divisão por zero, indicando que talvez haja uma necessidade de reconsiderar a solução ou o intervalo de validade. Porém, seguindo adiante, a solução geral está implícita na relação obtida.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
onde é a constante de integração determinada pela condição inicial .