Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma família de curvas definida pela equação polar:
Nosso objetivo é encontrar as trajetórias ortogonais a essa família de curvas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a coordenadas polares.

Passo 2

Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos primeiro encontrar a equação diferencial da família original. Começamos derivando ambos os lados da equação em relação a :
Isso nos dá:

Passo 3

Simplificando a equação, podemos isolar :
Agora, lembrando que , substituímos da equação original:

Passo 4

A próxima etapa é encontrar a equação diferencial das trajetórias ortogonais. Essas trajetórias são perpendiculares às curvas da família original, então a inclinação delas é o negativo do inverso da inclinação das curvas originais:

Passo 5

Agora, integramos a equação diferencial das trajetórias ortogonais para encontrar a equação dessas trajetórias:
A integral do lado direito pode ser resolvida usando identidades trigonométricas:

Passo 6

Portanto, a solução geral para as trajetórias ortogonais é:
Onde é a constante de integração que representa diferentes trajetórias ortogonais à família original.

Resposta

As trajetórias ortogonais à família de curvas são dadas por:

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Suponha que as funções abaixo são definidas no máximo subconjunto de possível. Por exemplo, se é definido por
obviamente a função não é definida em e . Então assumimos que , isto é, menos
ponto onde a função não é definida.
. (Analise se são iguais. Também analise se são iguais.)