Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma família de curvas definida pela equação polar:
Nosso objetivo é encontrar as trajetórias ortogonais a essa família de curvas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a coordenadas polares.
Passo 2
Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos primeiro encontrar a equação diferencial da família original. Começamos derivando ambos os lados da equação em relação a
:
Isso nos dá:
Passo 3
Simplificando a equação, podemos isolar
:
Agora, lembrando que
, substituímos
da equação original:
Passo 4
A próxima etapa é encontrar a equação diferencial das trajetórias ortogonais. Essas trajetórias são perpendiculares às curvas da família original, então a inclinação delas é o negativo do inverso da inclinação das curvas originais:
Passo 5
Agora, integramos a equação diferencial das trajetórias ortogonais para encontrar a equação dessas trajetórias:
A integral do lado direito pode ser resolvida usando identidades trigonométricas:
Passo 6
Portanto, a solução geral para as trajetórias ortogonais é:
Onde
é a constante de integração que representa diferentes trajetórias ortogonais à família original.
Resposta
As trajetórias ortogonais à família de curvas
são dadas por:
Exercícios relacionados
Resolva as EDO
Resolva as EDO
Resolva as EDO
Suponha que as funções abaixo são definidas no máximo subconjunto de
possível. Por exemplo, se
é definido por
obviamente a função não é definida em
e
. Então assumimos que
, isto é,
menos
ponto onde a função não é definida.
. (Analise se
são iguais. Também analise se
são iguais.)