Resolva as EDO x dy/dx + 2y = e^x + ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do tipo EDO linear. A equação que a gente tem é . Para resolver isso, vamos precisar entender como rearranjar a equação para o formato padrão e usar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão da EDO linear, que é . Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( ), que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Isso transforma a esquerda da equação em uma derivada de um produto:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Integrando o lado esquerdo:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver as integrais do lado direito:
  1. Integral de :
    Usamos integração por partes. Seja e . Então, e .
  2. Integral de :
    Também usamos integração por partes. Seja e . Então, e .

Passo 7

Substituindo as integrais na equação:

Passo 8

Isolando :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da EDO é:

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