Resolva as EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de primeira ordem que envolve
e
. Para resolver essa equação, vamos precisar entender um pouco sobre equações de Bernoulli, que são um tipo especial de EDO que podemos transformar em uma equação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor seus componentes:
Isso nos mostra que a equação tem um termo linear em
e um termo não linear envolvendo
. Esse formato se assemelha à forma geral da equação de Bernoulli:
onde
,
e
.
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação não linear em uma equação linear. A substituição que usamos é:
Agora, vamos encontrar
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituímos
da equação original na expressão para
:
Simplificando:
Como
, temos:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em
:
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, usamos integração por partes. Vamos resolver:
Seja
e
, então
e
.
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à nossa equação:
Multiplicamos ambos os lados por
para resolver para
:
Lembrando que
, então:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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