Resolva as EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de primeira ordem que envolve e . Para resolver essa equação, vamos precisar entender um pouco sobre equações de Bernoulli, que são um tipo especial de EDO que podemos transformar em uma equação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor seus componentes:
Isso nos mostra que a equação tem um termo linear em e um termo não linear envolvendo . Esse formato se assemelha à forma geral da equação de Bernoulli:
onde , e .

Passo 3

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação não linear em uma equação linear. A substituição que usamos é:
Agora, vamos encontrar . Diferenciando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituímos da equação original na expressão para :
Simplificando:
Como , temos:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em :
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para o lado direito, usamos integração por partes. Vamos resolver:
Seja e , então e .
Aplicando integração por partes:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à nossa equação:
Multiplicamos ambos os lados por para resolver para :
Lembrando que , então:

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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