Encontre a transformação linear T: R^2 R^2 tal que T(1,0)=(1,0) e T(0,1)=(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma transformação linear que manda o vetor em e o vetor em . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares e matrizes.

Passo 2

Primeiro, lembre que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso de A = a & b c & d , essa matriz será 2x2. Vamos chamar a matriz de , onde:

Passo 3

Sabemos que A 1 0 = a cdot 1 + b cdot 0 c cdot 1 + d cdot 0 = a c . Isso significa que quando aplicamos a matriz a c = 1 0 ao vetor , o resultado deve ser . Fazendo a multiplicação:
Igualando ao resultado dado:
Então, e .

Passo 4

Agora, usamos a segunda informação: A 0 1 = 1 cdot 0 + b cdot 1 0 cdot 0 + d cdot 1 = b d . Aplicando a matriz b d = 1 1 ao vetor :
E igualando ao resultado dado:
Então, e .

Passo 5

Agora que encontramos todos os elementos da matriz A = 1 & 1 0 & 1 , podemos montá-la:

Resposta

A transformação linear é representada pela matriz
T = 1 & 1 0 & 1

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