Encontre a transformação linear tal que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma transformação linear que manda o vetor em e o vetor em . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares e matrizes.

Passo 2

Primeiro, lembre que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso de , essa matriz será 2x2. Vamos chamar a matriz de , onde:

Passo 3

Sabemos que . Isso significa que quando aplicamos a matriz ao vetor , o resultado deve ser . Fazendo a multiplicação:
Igualando ao resultado dado:
Então, e .

Passo 4

Agora, usamos a segunda informação: . Aplicando a matriz ao vetor :
E igualando ao resultado dado:
Então, e .

Passo 5

Agora que encontramos todos os elementos da matriz , podemos montá-la:

Resposta

A transformação linear é representada pela matriz

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