Encontre a transformação linear
tal que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma transformação linear
que manda o vetor
em
e o vetor
em
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre transformações lineares e matrizes.
Passo 2
Primeiro, lembre que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso de
, essa matriz será 2x2. Vamos chamar a matriz de
, onde:
Passo 3
Sabemos que
. Isso significa que quando aplicamos a matriz
ao vetor
, o resultado deve ser
. Fazendo a multiplicação:
Igualando ao resultado dado:
Então,
e
.
Passo 4
Agora, usamos a segunda informação:
. Aplicando a matriz
ao vetor
:
E igualando ao resultado dado:
Então,
e
.
Passo 5
Agora que encontramos todos os elementos da matriz
, podemos montá-la:
Resposta
A transformação linear é representada pela matriz