Responda:
(g) Em termos do número de incógnitas do sistema e dos postos das matrizes ampliada e dos coeficientes, quando um sistema é possível com uma única solução, possível com infinitas soluções ou impossível?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para entender, com base no número de incógnitas do sistema e nos postos das matrizes (a matriz dos coeficientes e a matriz ampliada), quando um sistema de equações lineares tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos precisar lembrar um pouco de como os postos das matrizes influenciam nas soluções dos sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o número de incógnitas. É simplesmente quantas variáveis têm nas equações do sistema. Por exemplo, em um sistema com duas equações e duas variáveis, temos duas incógnitas.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o posto da matriz dos coeficientes. Essa matriz é formada apenas pelos termos das variáveis nas equações. O posto dela é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Basicamente, indica quantas equações realmente “contribuem” de forma única para o sistema.

Passo 4

A matriz ampliada inclui tanto os coeficientes das variáveis quanto os termos constantes das equações. O posto da matriz ampliada segue a mesma ideia: é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes nessa matriz maior.

Passo 5

Com esses conceitos em mente, temos algumas regras para determinar as soluções do sistema:
  1. Sistema possível e determinado (única solução):
    • O posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz ampliada.
    • Esse posto é igual ao número de incógnitas.
    • Ou seja, se tivermos, por exemplo, 3 incógnitas e os postos das matrizes forem 3, o sistema tem uma única solução.
  2. Sistema possível e indeterminado (infinitas soluções):
    • O posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz ampliada.
    • Esse posto é menor que o número de incógnitas.
    • Por exemplo, 2 incógnitas com postos 1, o que significa que há liberdade para escolher certos valores, gerando infinitas soluções.
  3. Sistema impossível (sem solução):
    • O posto da matriz dos coeficientes é menor que o posto da matriz ampliada.
    • Isso indica que as equações se contradizem, não havendo solução que satisfaça todas simultaneamente.

Resposta

Em resumo:
  • Única solução: Quando o número de incógnitas é igual ao posto da matriz dos coeficientes e ao posto da matriz ampliada.
    úó
  • Infinitas soluções: Quando o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz ampliada, mas ambos são menores que o número de incógnitas.
    úó
  • Sem solução: Quando o posto da matriz dos coeficientes é menor que o posto da matriz ampliada.

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