Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma transformação linear que transforma vetores específicos de em outros vetores. Para isso, vamos usar conceitos de transformação linear e matrizes. Precisamos descobrir quais são os valores da matriz que representa de forma que as condições dadas sejam satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso de , a matriz será . Vamos chamar essa matriz de :
Nossa missão é encontrar os valores de que satisfazem as transformações dadas.
Passo 3
Sabemos que T(v) = A cdot v transforma vetores de entrada em vetores de saída de acordo com:
Onde é um vetor coluna em . Vamos usar as informações dadas para montar equações que nos ajudem a encontrar os elementos de .
Passo 4
Vamos aplicar 1 -1 1 aos vetores dados e igualar aos vetores resultantes:
Para A cdot v1 = a & b & c d & e & f g & h & i 1 -1 1 = a - b + c d - e + f g - h + i = 1 0 0 :
[
A \cdot \mathbf{v}_1 = a - b + c = 1 d - e + f = 0 g - h + i = 0 -1 1 1
A cdot v2 = a & b & c d & e & f g & h & i -1 1 1 = -a + b + c -d + e + f -g + h + i = 0 1 0
-a + b + c = 0 -d + e + f = 1 -g + h + i = 0
]
Isso nos dá as equações:
1 1 -1
Para A cdot v3 = a & b & c d & e & f g & h & i 1 1 -1 = a + b - c d + e - f g + h - i = 0 0 1 :
[
A \cdot \mathbf{v}_2 = a + b - c = 0 d + e - f = 0 g + h - i = 1
]
Isso nos dá mais equações:
Para :
[
A \cdot \mathbf{v}_3 =
]
E mais equações:
Passo 5
Agora temos um sistema de 9 equações, mas podemos simplificar. Vamos resolver as equações passo a passo:
Da primeira equação do primeiro grupo:
a - b + c = 1 (1)
E da segunda equação do primeiro grupo:
-a + b + c = 0 (2)
Somando (1) e (2):
(a - b + c) + (-a + b + c) = 1 + 0 2c = 1 Rightarrow c = 12
Da terceira equação do primeiro grupo:
g - h + i = 0 (3)
E da segunda equação do terceiro grupo:
-g + h + i = 0 (6)
Somando (3) e (6):
(g - h + i) + (-g + h + i) = 0 + 0 2i = 0 Rightarrow i = 0