Encontre a transformação linear T: R^3 R^3 com T(1,-1,1)=(1,0,0), T(-1,1,1)=(0,1,0) e T(1,1,-1)=(0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma transformação linear que transforma vetores específicos de em outros vetores. Para isso, vamos usar conceitos de transformação linear e matrizes. Precisamos descobrir quais são os valores da matriz que representa de forma que as condições dadas sejam satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso de A = a & b & c d & e & f g & h & i , a matriz será . Vamos chamar essa matriz de :
Nossa missão é encontrar os valores de que satisfazem as transformações dadas.

Passo 3

Sabemos que T(v) = A cdot v transforma vetores de entrada em vetores de saída de acordo com:
Onde é um vetor coluna em . Vamos usar as informações dadas para montar equações que nos ajudem a encontrar os elementos de .

Passo 4

Vamos aplicar 1 -1 1 aos vetores dados e igualar aos vetores resultantes:
  1. Para A cdot v1 = a & b & c d & e & f g & h & i 1 -1 1 = a - b + c d - e + f g - h + i = 1 0 0 :

[
A \cdot \mathbf{v}_1 = a - b + c = 1 d - e + f = 0 g - h + i = 0
-1 1 1

A cdot v2 = a & b & c d & e & f g & h & i -1 1 1 = -a + b + c -d + e + f -g + h + i = 0 1 0

-a + b + c = 0 -d + e + f = 1 -g + h + i = 0
]
Isso nos dá as equações:
1 1 -1
  1. Para A cdot v3 = a & b & c d & e & f g & h & i 1 1 -1 = a + b - c d + e - f g + h - i = 0 0 1 :

[
A \cdot \mathbf{v}_2 = a + b - c = 0 d + e - f = 0 g + h - i = 1


]
Isso nos dá mais equações:
  1. Para :

[
A \cdot \mathbf{v}_3 =


]
E mais equações:

Passo 5

Agora temos um sistema de 9 equações, mas podemos simplificar. Vamos resolver as equações passo a passo:
  1. Da primeira equação do primeiro grupo:
a - b + c = 1 (1)
E da segunda equação do primeiro grupo:
-a + b + c = 0 (2)
Somando (1) e (2):
(a - b + c) + (-a + b + c) = 1 + 0 2c = 1 Rightarrow c = 12
  1. Da terceira equação do primeiro grupo:
g - h + i = 0 (3)
E da segunda equação do terceiro grupo:
-g + h + i = 0 (6)
Somando (3) e (6):
(g - h + i) + (-g + h + i) = 0 + 0 2i = 0 Rightarrow i = 0
  1. Da terceira equação do segundo grupo:
g + h - i = 1 (9)
Sabendo que g + h = 1 (9a) :
g - h = -i = 0 (3a)
E da equação (3):
(g + h) + (g - h) = 1 + 0 2g = 1 Rightarrow g = 12
Somando (9a) e (3a):
12 + h = 1 Rightarrow h = 12
Então, de (9a):

Passo 6

Continuando com as variáveis restantes:
  1. Já encontramos a + b - c = 0 (7) .
Das equações:
a + b - 12 = 0 Rightarrow a + b = 12 (7a)
Substituindo a - b + c = 1 (1) :
a - b + 12 = 1 Rightarrow a - b = 12 (1a)
E:
a + b = 12 (7a) a - b = 12 (1a)
Substituindo 2a = 1 Rightarrow a = 12 :
12 + b = 12 Rightarrow b = 0
Agora temos:
d - e + f = 0 (4) -d + e + f = 1 (5) d + e - f = 0 (8)
Somando (7a) e (1a):
(d - e + f) + (-d + e + f) = 0 + 1 2f = 1 Rightarrow f = 12
Então, de (7a):
d - e + 12 = 0 Rightarrow d - e = -12 (4a)
  1. Agora, para d + e - 12 = 0 Rightarrow d + e = 12 (8a) :
Das equações:
(d - e) + (d + e) = -12 + 12 2d = 0 Rightarrow d = 0
Somando (4) e (5):
0 + e = 12 Rightarrow e = 12
Agora, substituindo em (4):
E em (8):
Somando (4a) e (8a):
Então, de (8a):

Passo 7

Agora, já encontramos todos os valores:
a = 12, b = 0, c = 12 d = 0, e = 12, f = 12 g = 12, h = 12, i = 0
Portanto, a matriz A = 12 & 0 & 12 0 & 12 & 12 12 & 12 & 0 que representa a transformação linear é:

Resposta

A transformação linear A = 12 & 0 & 12 0 & 12 & 12 12 & 12 & 0 é representada pela matriz:

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