Mostre que a transformação
dada por
não é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a transformação
, definida por
, não é uma transformação linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares, que são funções que preservam as operações de adição e multiplicação por escalar. Vamos precisar verificar se
satisfaz essas duas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Adição:
- Homogeneidade:
Vamos verificar se essas propriedades valem para a nossa transformação
.
Passo 3
Primeiro, vamos testar a propriedade da adição. Escolha dois vetores, por exemplo,
e
.
Calculando
:
Agora, aplicamos
a
:
Em seguida, calculamos
e
separadamente:
Somando
e
:
Comparando os resultados:
Isso já mostra que a propriedade da adição não é satisfeita.
Passo 4
Como uma das propriedades (adição) não foi satisfeita, não precisamos verificar a homogeneidade. Já que pelo menos uma das condições para que
seja linear não é verdadeira, podemos concluir que
não é uma transformação linear.
Resposta
A transformação
não é uma transformação linear porque não satisfaz a propriedade da adição.