Mostre que a transformação T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x+y, x^2+y^2) não é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a transformação , definida por , não é uma transformação linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares, que são funções que preservam as operações de adição e multiplicação por escalar. Vamos precisar verificar se satisfaz essas duas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar se essas propriedades valem para a nossa transformação .

Passo 3

Primeiro, vamos testar a propriedade da adição. Escolha dois vetores, por exemplo, u + v = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6) e T(4, 6) = (4 + 6, 4^2 + 6^2) = (10, 16 + 36) = (10, 52) .
Calculando T(1, 2) = (1 + 2, 1^2 + 2^2) = (3, 1 + 4) = (3, 5) :
T(3, 4) = (3 + 4, 3^2 + 4^2) = (7, 9 + 16) = (7, 25)
Agora, aplicamos T(u) + T(v) = (3 + 7, 5 + 25) = (10, 30) a T(u + v) = (10, 52) neq (10, 30) = T(u) + T(v) :
Em seguida, calculamos e separadamente:
Somando e :
Comparando os resultados:
Isso já mostra que a propriedade da adição não é satisfeita.

Passo 4

Como uma das propriedades (adição) não foi satisfeita, não precisamos verificar a homogeneidade. Já que pelo menos uma das condições para que seja linear não é verdadeira, podemos concluir que não é uma transformação linear.

Resposta

A transformação não é uma transformação linear porque não satisfaz a propriedade da adição.

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