Identifique a superfície na qual todos os pontos P=(x, y, z) estão duas vezes mais afastados do plano z=-1 do que do ponto (0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar a superfície onde todos os pontos estão duas vezes mais afastados do plano do que do ponto . Vamos resolver isso usando conceitos de geometria analítica, especificamente distância entre pontos e distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a distância de um ponto a um ponto e de um ponto a um plano.
A distância entre dois pontos d(P, Q) = raiz(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 e d(P, plano) = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2 é dada pela fórmula:
Já a distância de um ponto a um plano é calculada por:

Passo 3

Vamos identificar as distâncias no nosso problema.
  1. Distância do ponto dponto = raiz(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 1)^2 = raizx^2 + y^2 + (z - 1)^2 ao ponto dplano = |0x + 0y + 1z + 1|raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = |z + 1|1 = |z + 1| :
  1. Distância do ponto ao plano :
Primeiro, reescrevemos o plano na forma geral , ou seja, .
Aplicando a fórmula da distância:

Passo 4

De acordo com o enunciado, a distância ao plano deve ser o dobro da distância ao ponto. Então, temos a relação:
dplano = 2 cdot dponto
Substituindo as expressões encontradas:
|z + 1| = 2 cdot raizx^2 + y^2 + (z - 1)^2

Passo 5

Vamos eliminar o valor absoluto e o radical para simplificar a equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(z + 1)^2 = 4 cdot (x^2 + y^2 + (z - 1)^2)
Expandindo o lado esquerdo:
z^2 + 2z + 1 = 4x^2 + 4y^2 + 4(z^2 - 2z + 1)
Distribuindo o 4 no lado direito:
z^2 + 2z + 1 = 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 8z + 4

Passo 6

Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação para facilitar a resolução:
z^2 + 2z + 1 - 4x^2 - 4y^2 - 4z^2 + 8z - 4 = 0
Simplificando os termos semelhantes:
-4x^2 - 4y^2 - 3z^2 + 10z - 3 = 0
Para facilitar, podemos multiplicar ambos os lados por -1:
4x^2 + 4y^2 + 3z^2 - 10z + 3 = 0

Passo 7

Vamos completar o quadrado para o termo envolvendo 4x^2 + 4y^2 + 3(z^2 - 103z) + 3 = 0 para identificar a natureza da superfície.
Agrupando os termos de z^2 - 103z = (z - 53)^2 - (53)^2 = (z - 53)^2 - 259 :
4x^2 + 4y^2 + 3[(z - 53)^2 - 259] + 3 = 0
Completando o quadrado para 4x^2 + 4y^2 + 3(z - 53)^2 - 759 + 3 = 0 :
4x^2 + 4y^2 + 3(z - 53)^2 - 253 + 3 = 0
Substituindo de volta na equação:
4x^2 + 4y^2 + 3(z - 53)^2 - 163 = 0
Expandindo:
4x^2 + 4y^2 + 3(z - 53)^2 = 163
Simplificando os termos constantes:
Movendo o termo constante para o outro lado:

Passo 8

Para deixar a equação na forma padrão, dividimos ambos os lados por 4x^2163 + 4y^2163 + 3(z - 53)^2163 = 1 :
3x^24 + 3y^24 + 9(z - 53)^216 = 1
Simplificando as frações:

Passo 9

Essa equação representa uma elipsoide, que é uma superfície tridimensional onde as distâncias respeitam uma relação específica entre os eixos. Nesse caso, todos os pontos estão duas vezes mais afastados do plano do que do ponto .

Resposta

A superfície é a elipsoide dada por:
3x^24 + 3y^24 + 9(z - 53)^216 = 1

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