Identifique a superfície na qual todos os pontos
estão duas vezes mais afastados do plano
do que do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar a superfície onde todos os pontos
estão duas vezes mais afastados do plano
do que do ponto
. Vamos resolver isso usando conceitos de geometria analítica, especificamente distância entre pontos e distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular a distância de um ponto a um ponto e de um ponto a um plano.
A distância entre dois pontos
e
é dada pela fórmula:
Já a distância de um ponto
a um plano
é calculada por:
Passo 3
Vamos identificar as distâncias no nosso problema.
- Distância do ponto
ao ponto :
- Distância do ponto
ao plano :
Primeiro, reescrevemos o plano na forma geral
, ou seja,
.
Aplicando a fórmula da distância:
Passo 4
De acordo com o enunciado, a distância ao plano deve ser o dobro da distância ao ponto. Então, temos a relação:
Substituindo as expressões encontradas:
Passo 5
Vamos eliminar o valor absoluto e o radical para simplificar a equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado esquerdo:
Distribuindo o 4 no lado direito:
Passo 6
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação para facilitar a resolução:
Simplificando os termos semelhantes:
Para facilitar, podemos multiplicar ambos os lados por -1:
Passo 7
Vamos completar o quadrado para o termo envolvendo
para identificar a natureza da superfície.
Agrupando os termos de
:
Completando o quadrado para
:
Substituindo de volta na equação:
Expandindo:
Simplificando os termos constantes:
Movendo o termo constante para o outro lado:
Passo 8
Para deixar a equação na forma padrão, dividimos ambos os lados por
:
Simplificando as frações:
Passo 9
Essa equação representa uma elipsoide, que é uma superfície tridimensional onde as distâncias respeitam uma relação específica entre os eixos. Nesse caso, todos os pontos estão duas vezes mais afastados do plano
do que do ponto
.
Resposta
A superfície é a elipsoide dada por: