Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares com quatro variáveis: , , e . O objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar o método de escalonamento, que basicamente transforma o sistema em uma forma mais simples, facilitando encontrar as soluções passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada, onde cada linha representa uma equação e as colunas representam os coeficientes das variáveis, além da coluna dos resultados. Assim, temos:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada, onde temos zeros abaixo dos coeficientes principais (geralmente os da diagonal). Começamos pela primeira coluna. Vamos subtrair a primeira linha das outras para eliminar o primeiro (1-1) & (1-1) & (1-1) & (-1-1) & | & (4-0) Rightarrow 0 0 0 -2 | 4 das equações seguintes.
Agora, vamos organizar as equações para facilitar. Observamos que as linhas 2, 3 e 4 têm apenas uma variável não nula cada após a subtração. Vamos reescrever cada linha como equação:
Linha 1:
Linha 2:
Linha 3:
Linha 4:
Passo 5
Vamos resolver as equações da parte de baixo para cima, pois elas já estão simplificadas com apenas uma variável cada:
Da Linha 2:
Aqui, dividimos ambos os lados por para isolar .
Da Linha 3:
Similarmente, dividimos por para encontrar .
Da Linha 4:
Dividindo por para isolar .
Passo 6
Agora que já temos x + (-1) + 2 + (-2) = 0 , x - 1 + 2 - 2 = 0 Rightarrow x - 1 = 0 Rightarrow x = 1 e , podemos substituir esses valores na primeira equação para encontrar :