Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
lx+y+z+t=0 x+y+z-t=4 x+y-z+t=-4 x-y+z+t=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares com quatro variáveis: , , e . O objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar o método de escalonamento, que basicamente transforma o sistema em uma forma mais simples, facilitando encontrar as soluções passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada, onde cada linha representa uma equação e as colunas representam os coeficientes das variáveis, além da coluna dos resultados. Assim, temos:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 1 & 1 & 1 & -1 & | & 4 1 & 1 & -1 & 1 & | & -4 1 & -1 & 1 & 1 & | & 2

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada, onde temos zeros abaixo dos coeficientes principais (geralmente os da diagonal). Começamos pela primeira coluna. Vamos subtrair a primeira linha das outras para eliminar o primeiro (1-1) & (1-1) & (1-1) & (-1-1) & | & (4-0) Rightarrow 0 0 0 -2 | 4 das equações seguintes.
  • Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
  • Linha 3 = Linha 3 - Linha 1:
  • Linha 4 = Linha 4 - Linha 1:
Então, a matriz fica assim:
(1-1) & (1-1) & (-1-1) & (1-1) & | & (-4-0) Rightarrow 0 0 -2 0 | -4

Passo 4

Agora, vamos organizar as equações para facilitar. Observamos que as linhas 2, 3 e 4 têm apenas uma variável não nula cada após a subtração. Vamos reescrever cada linha como equação:
  • Linha 1:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:

Passo 5

Vamos resolver as equações da parte de baixo para cima, pois elas já estão simplificadas com apenas uma variável cada:
  • Da Linha 2:
    Aqui, dividimos ambos os lados por para isolar .
  • Da Linha 3:
    Similarmente, dividimos por para encontrar .
  • Da Linha 4:
    Dividindo por para isolar .

Passo 6

Agora que já temos x + (-1) + 2 + (-2) = 0 , x - 1 + 2 - 2 = 0 Rightarrow x - 1 = 0 Rightarrow x = 1 e , podemos substituir esses valores na primeira equação para encontrar :
Simplificando:

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 1, y = -1, z = 2, t = -2

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