Encontre a transformação linear T: R^2 times 2 R^4 tal que
T([rr -1 & 1 0 & 0 ])=(-1,2,0,1), T([ll 1 & 1 0 & 0 ])=(0,-1,1,2) T([ll 0 & 0 1 & 0 ])=(-3,2,0,1) e T([ll 0 & 0 0 & 1 ])=(-1,1,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo aqui é encontrar uma transformação linear . Isso significa que a gente vai transformar uma matriz 2x2 em um vetor de 4 componentes. Para chegar nessa transformação, vamos usar conceitos de transformação linear e combinação linear das matrizes fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma transformação linear é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, se a gente souber como age em algumas matrizes básicas, a gente consegue descobrir como ela age em qualquer outra matriz 2x2.

Passo 3

A gente tem quatro matrizes específicas e as imagens delas pela transformação A = -1 & 1 0 & 0 , B = 1 & 1 0 & 0 , C = 0 & 0 1 & 0 , D = 0 & 0 0 & 1 :
T(A) = (-1,2,0,1), T(B) = (0,-1,1,2), T(C) = (-3,2,0,1), T(D) = (-1,1,0,1)
E sabemos que:

Passo 4

Queremos encontrar como M = a & b c & d age em uma matriz qualquer M = alpha A + beta B + gamma C + de da forma:
Para isso, vamos expressar como uma combinação linear das matrizes e . Ou seja, achar coeficientes tal que:

Passo 5

Vamos montar um sistema de equações comparando cada elemento das matrizes:
a = -alpha + beta b = alpha + beta c = gamma d = de

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação: a + b = (-alpha + beta) + (alpha + beta) Rightarrow a + b = 2beta Rightarrow beta = a + b2
  2. Da quarta equação: b - a = (alpha + beta) - (-alpha + beta) Rightarrow b - a = 2alpha Rightarrow alpha = b - a2
  3. Somando as duas primeiras equações para eliminar :
  1. Subtraindo a primeira equação da segunda:

Passo 7

Agora que temos todas as variáveis em termos de M = ( b - a2 ) A + ( a + b2 ) B + c C + d D , podemos reescrever :

Passo 8

Como T(M) = ( b - a2 ) T(A) + ( a + b2 ) T(B) + c T(C) + d T(D) é linear, podemos aplicar a transformação em cada parte separadamente:
T(M) = ( b - a2 ) (-1, 2, 0, 1) + ( a + b2 ) (0, -1, 1, 2) + c (-3, 2, 0, 1) + d (-1, 1, 0, 1)
Substituindo os valores conhecidos de e :

Passo 9

Vamos multiplicar os escalares e somar os vetores:
T(M) = ( -(b - a)2, 2(b - a)2, 0, b - a2 ) + ( 0, -(a + b)2, a + b2, 2(a + b)2 ) + (-3c, 2c, 0, c) + (-d, d, 0, d)
Simplificando:
T(M) = ( a - b2, b - a, 0, b - a2 ) + ( 0, -a + b2, a + b2, a + b ) + (-3c, 2c, 0, c) + (-d, d, 0, d)

Passo 10

Agora, somamos todas as componentes correspondentes:
  • Primeira componente:
a - b2 + 0 - 3c - d
  • Segunda componente:
(b - a) - a + b2 + 2c + d
  • Terceira componente:
0 + a + b2 + 0 + 0 = a + b2
  • Quarta componente:
b - a2 + (a + b) + c + d

Passo 11

Simplificando cada componente:
  • Primeira componente:
a - b2 - 3c - d
  • Segunda componente:
b - a - a + b2 + 2c + d = 2b - 2a - a - b2 + 2c + d = b - 3a2 + 2c + d
  • Terceira componente:
a + b2
  • Quarta componente:
b - a2 + a + b + c + d = b - a + 2a + 2b2 + c + d = 3b + a2 + c + d

Passo 12

Finalmente, juntando tudo, a transformação T( a & b c & d ) = ( a - b2 - 3c - d, b - 3a2 + 2c + d, a + b2, 3b + a2 + c + d ) fica:

Resposta

A transformação linear T( a & b c & d ) = ( a - b2 - 3c - d, b - 3a2 + 2c + d, a + b2, 3b + a2 + c + d ) é dada por:

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