Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo aqui é encontrar uma transformação linear . Isso significa que a gente vai transformar uma matriz 2x2 em um vetor de 4 componentes. Para chegar nessa transformação, vamos usar conceitos de transformação linear e combinação linear das matrizes fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma transformação linear é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, se a gente souber como age em algumas matrizes básicas, a gente consegue descobrir como ela age em qualquer outra matriz 2x2.
Passo 3
A gente tem quatro matrizes específicas e as imagens delas pela transformação :
E sabemos que:
Passo 4
Queremos encontrar como age em uma matriz qualquer da forma:
Para isso, vamos expressar como uma combinação linear das matrizes e . Ou seja, achar coeficientes tal que:
Passo 5
Vamos montar um sistema de equações comparando cada elemento das matrizes:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação: a + b = (-alpha + beta) + (alpha + beta) Rightarrow a + b = 2beta Rightarrow beta = a + b2
Da quarta equação: b - a = (alpha + beta) - (-alpha + beta) Rightarrow b - a = 2alpha Rightarrow alpha = b - a2
Somando as duas primeiras equações para eliminar :
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 7
Agora que temos todas as variáveis em termos de M = ( b - a2 ) A + ( a + b2 ) B + c C + d D , podemos reescrever :
Passo 8
Como T(M) = ( b - a2 ) T(A) + ( a + b2 ) T(B) + c T(C) + d T(D) é linear, podemos aplicar a transformação em cada parte separadamente:
T(M) = ( b - a2 ) (-1, 2, 0, 1) + ( a + b2 ) (0, -1, 1, 2) + c (-3, 2, 0, 1) + d (-1, 1, 0, 1)
Substituindo os valores conhecidos de e :
Passo 9
Vamos multiplicar os escalares e somar os vetores: