Verifique quais transformações lineares são invertíveis e encontre sua inversa:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar quais transformações lineares são invertíveis e encontrar a inversa delas. Estamos trabalhando com espaços de polinômios de grau no máximo 2, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear invertível e como encontrar sua inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear invertível. Uma transformação linear é invertível se existir outra transformação linear tal que para todo e para todo . Basicamente, isso significa que podemos “desfazer” a transformação aplicando .
Passo 3
Agora, olhando para a transformação dada:
Como estamos trabalhando com , qualquer derivada de ordem maior que 2 de um polinômio de grau 2 ou menos é zero. Ou seja, . Assim, a transformação simplifica para:
Passo 4
Para verificar se é invertível, precisamos ver se ela é bijetora, ou seja, se é injetora (cada saída corresponde a uma única entrada) e sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada). Uma maneira mais simples de verificar isso em espaços finitamente dimensionais é checar se a transformação é linear e se o determinante da matriz associada a ela é diferente de zero.
Passo 5
Vamos considerar uma base para . Uma base comum é . Vamos aplicar a cada um desses polinômios para encontrar a matriz de .
Passo 6
Agora, representamos essas imagens em termos da base :
Então, a matriz de na base escolhida é:
Passo 7
Para verificar se T é invertível, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, a transformação é invertível.
Como o determinante é 125, que é diferente de zero, concluímos que T é invertível.
Passo 9
Agora, vamos encontrar a inversa de T. Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada pela matriz de T, resulte na matriz identidade.
Como a matriz de T é triangular superior, a inversa também será triangular superior. Podemos calcular ela invertendo cada elemento da diagonal e ajustando os outros elementos.
A inversa da matriz de T é:
T^-1 = 15 & 425 & 32125 0 & 15 & 825 0 & 0 & 15
Resposta
A transformação linear T é invertível e sua inversa é dada por: