Verifique quais transformações lineares são invertíveis e encontre sua inversa:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar quais transformações lineares são invertíveis e encontrar a inversa delas. Estamos trabalhando com espaços de polinômios de grau no máximo 2, ou seja, P2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear invertível e como encontrar sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear invertível. Uma transformação linear T: V W é invertível se existir outra transformação linear T^-1: W V tal que T^-1(T(v)) = v para todo v in V e T(T^-1(w)) = w para todo w in W. Basicamente, isso significa que podemos “desfazer” a transformação T aplicando T^-1.

Passo 3

Agora, olhando para a transformação dada:
T(p(x)) = 5 p(x) - 4 p'(x) + p''''(x)
Como estamos trabalhando com P2, qualquer derivada de ordem maior que 2 de um polinômio de grau 2 ou menos é zero. Ou seja, p''''(x) = 0. Assim, a transformação simplifica para:
T(p(x)) = 5 p(x) - 4 p'(x)

Passo 4

Para verificar se T é invertível, precisamos ver se ela é bijetora, ou seja, se é injetora (cada saída corresponde a uma única entrada) e sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada). Uma maneira mais simples de verificar isso em espaços finitamente dimensionais é checar se a transformação é linear e se o determinante da matriz associada a ela é diferente de zero.

Passo 5

Vamos considerar uma base para P2. Uma base comum é 1, x, x^2. Vamos aplicar T a cada um desses polinômios para encontrar a matriz de T.
  1. T(1) = 5 cdot 1 - 4 cdot 0 = 5
  2. T(x) = 5x - 4 cdot 1 = 5x - 4
  3. T(x^2) = 5x^2 - 4 cdot 2x = 5x^2 - 8x

Passo 6

Agora, representamos essas imagens em termos da base 1, x, x^2:
  1. T(1) = 5 cdot 1 + 0 cdot x + 0 cdot x^2
  2. T(x) = -4 cdot 1 + 5 cdot x + 0 cdot x^2
  3. T(x^2) = 0 cdot 1 - 8 cdot x + 5 cdot x^2
Então, a matriz de T na base escolhida é:
5 & -4 & 0 0 & 5 & -8 0 & 0 & 5

Passo 7

Para verificar se T é invertível, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, a transformação é invertível.
Calculando o determinante:
det(T) = 5 cdot (5 cdot 5 - (-8) cdot 0) - (-4) cdot (0 cdot 5 - (-8) cdot 0) + 0 cdot (0 cdot (-8) - 5 cdot 0) = 5 cdot 25 = 125 neq 0

Passo 8

Como o determinante é 125, que é diferente de zero, concluímos que T é invertível.

Passo 9

Agora, vamos encontrar a inversa de T. Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada pela matriz de T, resulte na matriz identidade.
Como a matriz de T é triangular superior, a inversa também será triangular superior. Podemos calcular ela invertendo cada elemento da diagonal e ajustando os outros elementos.
A inversa da matriz de T é:
T^-1 = 15 & 425 & 32125 0 & 15 & 825 0 & 0 & 15

Resposta

A transformação linear T é invertível e sua inversa é dada por:
T^-1(q(x)) = 15 q(x) + 425 q'(x) + 32125 q''(x)

Exercícios relacionados

Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
® 1x+a-1x+b.
Para que valores de k os vetores (1,2,0, k),(0,-1, k, 1),(0,2,1,0),(1,0,2,3 k) geram um subespaço de dimensão 3 ?
x(x^2+1)(a^2 x^2+1)=A x+Ba^2 x^2+1+C x+Dx^2+1,
onde a é um parâmetro.
Encontre a transformação linear T: R^2 times 2 R^4 tal que
T([rr -1 & 1 0 & 0 ])=(-1,2,0,1), T([ll 1 & 1 0 & 0 ])=(0,-1,1,2) T([ll 0 & 0 1 & 0 ])=(-3,2,0,1) e T([ll 0 & 0 0 & 1 ])=(-1,1,0,1)