onde
é um parâmetro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação que envolve frações racionais. O objetivo é decompor a fração do lado esquerdo em duas frações menores do lado direito. Para isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica da álgebra para simplificar expressões racionais. Precisamos encontrar os valores de
,
,
e
que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro o que queremos encontrar:
Aqui, temos dois denominadores no lado direito:
e
. Nosso objetivo é expressar a fração do lado esquerdo como a soma dessas duas frações.
Passo 3
Para encontrar
,
,
e
, vamos primeiro igualar as duas expressões multiplicando ambos os lados pelos denominadores comuns
. Isso nos livra das frações e facilita encontrar os coeficientes:
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos do lado direito:
-
Multiplicando
por : -
Multiplicando
por :
Então, somando tudo:
Passo 5
Agora, vamos juntar os termos semelhantes do lado direito:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais nos dois lados da equação. No lado esquerdo, temos apenas
, que pode ser visto como:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
:
-
Coeficiente de
: -
Coeficiente de
: -
Coeficiente de
: -
Coeficiente constante:
Passo 7
Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
-
(1) -
(2) -
(3) -
(4)
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 8
Primeiro, da equação (3):
Agora, substituímos
na equação (1):
Passo 9
Agora que temos
, podemos encontrar
usando
:
Passo 10
Vamos agora resolver para
e
usando as equações (2) e (4).
Da equação (4):
Substituindo
na equação (2):
Assumindo que
, temos:
Então,
Resposta
Os valores encontrados são:
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Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
® .
®
Encontre a transformação linear
tal que
Para que valores de
os vetores
geram um subespaço de dimensão 3 ?