x(x^2+1)(a^2 x^2+1)=A x+Ba^2 x^2+1+C x+Dx^2+1,
onde a é um parâmetro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação que envolve frações racionais. O objetivo é decompor a fração do lado esquerdo em duas frações menores do lado direito. Para isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica da álgebra para simplificar expressões racionais. Precisamos encontrar os valores de , , e que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro o que queremos encontrar:
x(x^2+1)(a^2 x^2+1) = A x + Ba^2 x^2+1 + C x + Dx^2+1
Aqui, temos dois denominadores no lado direito: e . Nosso objetivo é expressar a fração do lado esquerdo como a soma dessas duas frações.

Passo 3

Para encontrar x = (A x + B)(x^2 + 1) + (C x + D)(a^2 x^2 + 1) , , e , vamos primeiro igualar as duas expressões multiplicando ambos os lados pelos denominadores comuns . Isso nos livra das frações e facilita encontrar os coeficientes:

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos do lado direito:
  1. Multiplicando A x cdot x^2 + A x cdot 1 + B cdot x^2 + B cdot 1 = A x^3 + A x + B x^2 + B por C x cdot a^2 x^2 + C x cdot 1 + D cdot a^2 x^2 + D cdot 1 = a^2 C x^3 + C x + a^2 D x^2 + D :
    x = (A x^3 + A x + B x^2 + B) + (a^2 C x^3 + C x + a^2 D x^2 + D)
  2. Multiplicando por :
Então, somando tudo:

Passo 5

Agora, vamos juntar os termos semelhantes do lado direito:
x = (A + a^2 C) x^3 + (B + a^2 D) x^2 + (A + C) x + (B + D)
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de 0 x^3 + 0 x^2 + 1 x + 0 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais nos dois lados da equação. No lado esquerdo, temos apenas , que pode ser visto como:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de A + a^2 C = 0 :
  1. Coeficiente de B + a^2 D = 0 :
    A + C = 1
  2. Coeficiente de B + D = 0 :
  3. Coeficiente de :
  4. Coeficiente constante:

Passo 7

Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
  1.   (1)
  2.   (2)
  3.      (3)
  4.      (4)
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 8

Primeiro, da equação (3):
A = 1 - C
Agora, substituímos 1 - C + a^2 C = 0 1 + C(a^2 - 1) = 0 C(a^2 - 1) = -1 C = -1a^2 - 1 = 11 - a^2 na equação (1):

Passo 9

Agora que temos A = 1 - 11 - a^2 = (1 - a^2) - 11 - a^2 = -a^21 - a^2 = a^2a^2 - 1 , podemos encontrar usando :

Passo 10

Vamos agora resolver para B = -D e -D + a^2 D = 0 D(a^2 - 1) = 0 usando as equações (2) e (4).
Da equação (4):
D = 0
Substituindo B = -D = 0 na equação (2):
Assumindo que , temos:
Então,

Resposta

Os valores encontrados são:
A = a^2a^2 - 1, B = 0, C = 11 - a^2, D = 0

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