Para que valores de k os vetores (k, 2,0,-1),(0,-1,2 k, 1),(0,2,1,0),(1,-k, 2,0) geram um subespaço de dimensão 3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir para quais valores de os vetores , , e formam um subespaço de dimensão 3. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente a ideia de dimensão de subespaços e independência linear. Para resolver, vamos analisar a combinação desses vetores e verificar quando eles geram um espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor será uma linha da matriz:
k & 2 & 0 & -1 0 & -1 & 2k & 1 0 & 2 & 1 & 0 1 & -k & 2 & 0
O objetivo é descobrir para quais valores de essa matriz tem posto (ou rank) igual a 3. O posto da matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Se o posto for 3, então os vetores geram um subespaço tridimensional.

Passo 3

Para encontrar o posto da matriz, vamos realizar operações de linha para simplificar a matriz, sem alterar seu posto. Vamos começar tentando zerar elementos abaixo da primeira posição da primeira coluna.
Primeiro, a quarta linha tem um 1 na primeira coluna. Podemos usá-la para eliminar o 1 & -k & 2 & 0 0 & -1 & 2k & 1 0 & 2 & 1 & 0 k & 2 & 0 & -1 da primeira linha:
  1. Troque a primeira e a quarta linhas:
1 & -k & 2 & 0 0 & -1 & 2k & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 2 + k^2 & -2k & -1
  1. Agora, subtraia vezes a primeira linha da quarta linha para zerar o na primeira coluna da quarta linha:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos simplificar ainda mais a matriz. Vamos multiplicar a segunda linha por -1 para facilitar:
1 & -k & 2 & 0 0 & 1 & -2k & -1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 2 + k^2 & -2k & -1
Em seguida, subtraia 2 vezes a segunda linha da terceira linha e também subtraia 0 - 2 times 0 = 0, 2 - 2 times 1 = 0, 1 - 2 times (-2k) = 1 + 4k, 0 - 2 times (-1) = 2 vezes a segunda linha da quarta linha:
Terceira linha:
0 - (2 + k^2) times 0 = 0, (2 + k^2) - (2 + k^2) times 1 = 0, -2k - (2 + k^2) times (-2k) = -2k + 4k + 2k^3 = 2k + 2k^3, -1 - (2 + k^2) times (-1) = -1 + 2 + k^2 = 1 + k^2
Quarta linha:
1 & -k & 2 & 0 0 & 1 & -2k & -1 0 & 0 & 1 + 4k & 2 0 & 0 & 2k + 2k^3 & 1 + k^2
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, olhemos para a terceira coluna para simplificar ainda mais. Queremos eliminar o termo na quarta linha, terceira coluna:
Subtraia 0, 0, 0, (1 + k^2) - (2k + 2k^3) times 21 + 4k vezes a terceira linha da quarta linha:
1 + k^2 - 4k + 4k^31 + 4k = (1 + k^2)(1 + 4k) - (4k + 4k^3)1 + 4k = 1 + 4k + k^2 + 4k^3 - 4k - 4k^31 + 4k = 1 + k^21 + 4k
Simplificando a última entrada:
1 & -k & 2 & 0 0 & 1 & -2k & -1 0 & 0 & 1 + 4k & 2 0 & 0 & 0 & 1 + k^21 + 4k
Agora, a matriz fica:

Passo 6

Para que a matriz tenha posto 3, a última linha deve ser todas zeros ou não influenciar o posto total. Observando a última entrada , ela será zero quando . Mas nunca é zero para números reais , pois .
Além disso, o denominador não pode ser zero, ou seja, , para evitar divisão por zero.
Portanto, a matriz sempre terá posto 4, a não ser que , onde a última entrada não é definida.

Passo 7

No entanto, estamos procurando que os vetores gerem um subespaço de dimensão 3, o que significa que o posto da matriz deve ser 3. Mas vimos que o posto é sempre 4, exceto quando . Nesse caso, o sistema não está bem definido, e os vetores não podem gerar um subespaço de dimensão 3.
Então, na verdade, para nenhum valor real de , os vetores geram um subespaço de dimensão 3.

Resposta

Não existe nenhum valor real de para o qual os vetores , , e gerem um subespaço de dimensão 3.

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T([rr -1 & 1 0 & 0 ])=(-1,2,0,1), T([ll 1 & 1 0 & 0 ])=(0,-1,1,2) T([ll 0 & 0 1 & 0 ])=(-3,2,0,1) e T([ll 0 & 0 0 & 1 ])=(-1,1,0,1)
x(x^2+1)(a^2 x^2+1)=A x+Ba^2 x^2+1+C x+Dx^2+1,
onde a é um parâmetro.
Seja A=[ccc1 & -1 & 0 0 & 2 & 1 3 & -7 & -2]. Defina a transformação linear T(x)=A x.
(a) T é injetora?
(b) Mostre que T não é sobrejetora e encontre um vetor de R^3 que não está na imagem de T.
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