Para que valores de os vetores geram um subespaço de dimensão 3 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir para quais valores de os vetores , , e formam um subespaço de dimensão 3. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente a ideia de dimensão de subespaços e independência linear. Para resolver, vamos analisar a combinação desses vetores e verificar quando eles geram um espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor será uma linha da matriz:
O objetivo é descobrir para quais valores de essa matriz tem posto (ou rank) igual a 3. O posto da matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Se o posto for 3, então os vetores geram um subespaço tridimensional.
Passo 3
Para encontrar o posto da matriz, vamos realizar operações de linha para simplificar a matriz, sem alterar seu posto. Vamos começar tentando zerar elementos abaixo da primeira posição da primeira coluna.
Primeiro, a quarta linha tem um 1 na primeira coluna. Podemos usá-la para eliminar o 1 & -k & 2 & 0 0 & -1 & 2k & 1 0 & 2 & 1 & 0 k & 2 & 0 & -1 da primeira linha:
Em seguida, subtraia 2 vezes a segunda linha da terceira linha e também subtraia 0 - 2 times 0 = 0, 2 - 2 times 1 = 0, 1 - 2 times (-2k) = 1 + 4k, 0 - 2 times (-1) = 2 vezes a segunda linha da quarta linha:
Para que a matriz tenha posto 3, a última linha deve ser todas zeros ou não influenciar o posto total. Observando a última entrada , ela será zero quando . Mas nunca é zero para números reais , pois .
Além disso, o denominador não pode ser zero, ou seja, , para evitar divisão por zero.
Portanto, a matriz sempre terá posto 4, a não ser que , onde a última entrada não é definida.
Passo 7
No entanto, estamos procurando que os vetores gerem um subespaço de dimensão 3, o que significa que o posto da matriz deve ser 3. Mas vimos que o posto é sempre 4, exceto quando . Nesse caso, o sistema não está bem definido, e os vetores não podem gerar um subespaço de dimensão 3.
Então, na verdade, para nenhum valor real de , os vetores geram um subespaço de dimensão 3.
Resposta
Não existe nenhum valor real de para o qual os vetores , , e gerem um subespaço de dimensão 3.