Encontre a Transformada de Fourier Inversa:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a Transformada de Fourier Inversa da função
. Basicamente, queremos descobrir qual é a função original
que, quando transformada pela Fourier, resulta nessa expressão. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da Transformada de Fourier Inversa e algumas propriedades das funções Gaussianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Transformada de Fourier Inversa. Ela é dada por:
Aqui,
é a função no domínio do tempo que queremos encontrar, e
é a função no domínio da frequência que já conhecemos.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na fórmula:
Essa integral envolve uma função gaussiana
multiplicada por uma exponencial complexa
. Para resolver isso, vamos usar uma propriedade importante das integrais de funções gaussianas:
No nosso caso,
e
. Vamos aplicar essa propriedade:
Resposta
Substituindo de volta na fórmula da Transformada de Fourier Inversa, temos:
Portanto, a Transformada de Fourier Inversa de
é:
Exercícios relacionados
Utilizando uma substituição adequada, calcule
.
(h)
Utilizando o método das frações parciais, calcule
.
Utilize a Transformada de Fourier para resolver ces problemas abaixo.