Encontre a Transformada de Fourier Inversa:
f(ω) = e^(-5 ω^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a Transformada de Fourier Inversa da função . Basicamente, queremos descobrir qual é a função original que, quando transformada pela Fourier, resulta nessa expressão. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da Transformada de Fourier Inversa e algumas propriedades das funções Gaussianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Transformada de Fourier Inversa. Ela é dada por:
Aqui, é a função no domínio do tempo que queremos encontrar, e é a função no domínio da frequência que já conhecemos.

Passo 3

Agora, vamos substituir na fórmula:
Essa integral envolve uma função gaussiana multiplicada por uma exponencial complexa . Para resolver isso, vamos usar uma propriedade importante das integrais de funções gaussianas:
No nosso caso, e . Vamos aplicar essa propriedade:

Resposta

Substituindo de volta na fórmula da Transformada de Fourier Inversa, temos:
Portanto, a Transformada de Fourier Inversa de é:

Exercícios relacionados

Utilizando uma substituição adequada, calcule integral x^2 cos (x^3+1) d x.
(h) integral0^pi / 3 sen^2(3 x) d x
Utilizando o método das frações parciais, calcule integral 2 x(x-2)(x+2) d x.
Utilize a Transformada de Fourier para resolver ces problemas abaixo.
l partial^2 upartial x^2+partial upartial x=partial upartial t u(x, 0)=e^-x^2, x in R