Utilizando o método das frações parciais, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de
usando o método das frações parciais. Esse método é ótimo pra integrar funções racionais onde o denominador pode ser fatorado em produtos de polinômios de primeiro grau. Vamos precisar quebrar a fração original em frações mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a fração
como soma de duas frações parciais. A forma geral é:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por
:
Isso nos dá uma equação que podemos resolver para encontrar
e
.
Passo 4
Vamos expandir e agrupar os termos:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Então,
.
Passo 7
Agora que temos os valores de
e
, substituímos de volta nas frações parciais:
Passo 8
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Passo 9
Integrando cada termo:
Passo 10
Juntando as integrais e combinando as constantes:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
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.
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(d)