Utilizando o método das frações parciais, calcule integral 2 x(x-2)(x+2) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de usando o método das frações parciais. Esse método é ótimo pra integrar funções racionais onde o denominador pode ser fatorado em produtos de polinômios de primeiro grau. Vamos precisar quebrar a fração original em frações mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a fração 2x(x-2)(x+2) = Ax-2 + Bx+2 como soma de duas frações parciais. A forma geral é:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por 2x = A(x+2) + B(x-2) :
Isso nos dá uma equação que podemos resolver para encontrar e .

Passo 4

Vamos expandir e agrupar os termos:
2x = A x + 2A + B x - 2B
2x = (A + B) x + (2A - 2B)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para os termos com A + B = 2 :
2A - 2B = 0
Para os termos constantes:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação:
2A - 2B = 0 implies A = B
Substituindo A + A = 2 implies 2A = 2 implies A = 1 na primeira equação:
Então, .

Passo 7

Agora que temos os valores de 2x(x-2)(x+2) = 1x-2 + 1x+2 e , substituímos de volta nas frações parciais:

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 2x(x-2)(x+2) dx = integral 1x-2 dx + integral 1x+2 dx

Passo 9

Integrando cada termo:
integral 1x-2 dx = ln|x-2| + C1
integral 1x+2 dx = ln|x+2| + C2

Passo 10

Juntando as integrais e combinando as constantes:
integral 2x(x-2)(x+2) dx = ln|x-2| + ln|x+2| + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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