Encontre a Transformada Inversa de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a Transformada Inversa de
. A gente vai usar conhecimentos de transformadas de Laplace, especificamente trabalhando com frações racionais e completando o quadrado no denominador para facilitar a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o denominador da função
:
. Para facilitar a inversão, a gente pode completar o quadrado nesse polinômio. Isso significa reescrever
de uma forma que fique mais fácil de identificar a forma da transformada inversa.
Passo 3
Para completar o quadrado, pegamos os termos
e adicionamos e subtraímos o quadrado da metade do coeficiente de
. A meio de -4 é -2, e seu quadrado é 4. Então:
Agora, nossa função
fica:
Passo 4
Agora que completamos o quadrado, reconhecemos que essa expressão se assemelha à forma da transformada de Laplace de funções envolvendo exponenciais e funções trigonométricas, especificamente:
Comparando com nossa
, vemos que
e
.
Passo 5
Para encontrar a transformada inversa, ajustamos nossa função para que ela se encaixe exatamente na fórmula conhecida. Note que em
o numerador é 1, mas na fórmula padrão o numerador é
, então já está perfeito para aplicar diretamente.
Passo 6
Aplicando a fórmula da transformada inversa, temos:
Resposta
A transformada inversa de
é
.
Exercícios relacionados
Resolva o PVI:
, com
.
A Transformada de Laplace é definida por:
Calcule as transformadas de Laplace abaixo:
Resolva o PVI:
, com
e
Sugestão
/ frações parciais:
.
Utilize convolução para resolver o PVI
Fórmula: