Encontre a Transformada Inversa de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a Transformada Inversa de . A gente vai usar conhecimentos de transformadas de Laplace, especificamente trabalhando com frações racionais e completando o quadrado no denominador para facilitar a inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador da função : . Para facilitar a inversão, a gente pode completar o quadrado nesse polinômio. Isso significa reescrever de uma forma que fique mais fácil de identificar a forma da transformada inversa.

Passo 3

Para completar o quadrado, pegamos os termos e adicionamos e subtraímos o quadrado da metade do coeficiente de . A meio de -4 é -2, e seu quadrado é 4. Então:
Agora, nossa função fica:

Passo 4

Agora que completamos o quadrado, reconhecemos que essa expressão se assemelha à forma da transformada de Laplace de funções envolvendo exponenciais e funções trigonométricas, especificamente:
Comparando com nossa , vemos que e .

Passo 5

Para encontrar a transformada inversa, ajustamos nossa função para que ela se encaixe exatamente na fórmula conhecida. Note que em o numerador é 1, mas na fórmula padrão o numerador é , então já está perfeito para aplicar diretamente.

Passo 6

Aplicando a fórmula da transformada inversa, temos:

Resposta

A transformada inversa de é .

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Resolva o PVI: , com .
A Transformada de Laplace é definida por: Calcule as transformadas de Laplace abaixo:
Resolva o PVI: , com e Sugestão / frações parciais: .
Utilize convolução para resolver o PVI Fórmula: