Resolva o PVI: , com e Sugestão / frações parciais: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que é um PVI (Problema de Valor Inicial). A equação é com as condições iniciais e . A função é definida de forma diferente para e para . Vamos usar a Transformada de Laplace e frações parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio de , facilitando a resolução.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar como a Transformada de Laplace atua nas derivadas. Para a segunda derivada:
Substituindo as condições iniciais e :
E para :

Passo 4

Substituindo na equação original:
Vamos isolar :

Passo 5

Precisamos calcular . Dado que é uma função por partes, podemos escrevê-la usando a função de Heaviside (ou função degrau):
Onde é zero para e 1 para . A Transformada de Laplace dessa função fica:

Passo 6

Substituindo de volta em :
Vamos simplificar:

Passo 7

Agora, precisamos decompor em frações parciais o termo . Segundo a sugestão:
Multiplicando ambos os lados por :
Comparando coeficientes:
Então, , e . Portanto:

Passo 8

Agora, aplicando isso na expressão de :
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Sabemos que:
E utilizando a propriedade de atraso:
Então:
Simplificando:

Resposta

A solução do PVI é:
Onde é a função de Heaviside que ativa o termo a partir de .

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Utilize convolução para resolver o PVI Fórmula:
Derive as funções abaixo.
, para