Resolva o PVI:
, com
e
Sugestão
/ frações parciais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que é um PVI (Problema de Valor Inicial). A equação é
com as condições iniciais
e
. A função
é definida de forma diferente para
e para
. Vamos usar a Transformada de Laplace e frações parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio de
, facilitando a resolução.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar como a Transformada de Laplace atua nas derivadas. Para a segunda derivada:
Substituindo as condições iniciais
e
:
E para
:
Passo 4
Substituindo na equação original:
Vamos isolar
:
Passo 5
Precisamos calcular
. Dado que
é uma função por partes, podemos escrevê-la usando a função de Heaviside (ou função degrau):
Onde
é zero para
e 1 para
. A Transformada de Laplace dessa função fica:
Passo 6
Substituindo de volta em
:
Vamos simplificar:
Passo 7
Agora, precisamos decompor em frações parciais o termo
. Segundo a sugestão:
Multiplicando ambos os lados por
:
Comparando coeficientes:
Então,
,
e
. Portanto:
Passo 8
Agora, aplicando isso na expressão de
:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Sabemos que:
E utilizando a propriedade de atraso:
Então:
Simplificando:
Resposta
A solução do PVI é:
Onde
é a função de Heaviside que ativa o termo
a partir de
.
Exercícios relacionados
Encontre a Transformada Inversa de
.
Resolva o PVI:
, com
.
Utilize convolução para resolver o PVI
Fórmula:
Derive as funções abaixo.
, para