Utilize convolução para resolver o PVI
Fórmula:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial
com condições iniciais
e
. O conteúdo envolve resolver equações diferenciais usando convolução. Para isso, vamos precisar entender o que é convolução e como aplicar essa técnica para encontrar a solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial ordinária (EDO). Essa equação envolve derivadas de uma função desconhecida
. No nosso caso, a EDO é de segunda ordem porque a derivada mais alta é
.
Passo 3
A convolução é uma operação matemática que combina duas funções para produzir uma terceira função. A fórmula que vamos usar é:
Isso vai nos ajudar a encontrar a solução particular da nossa EDO.
Passo 4
Para resolver a EDO
, primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, que é
. A solução geral dessa equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular usando convolução. A solução completa da EDO é a soma da solução homogênea e da particular:
A solução particular
pode ser encontrada pela convolução da função impulso
com
. Então:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
. Sabemos que:
Substituindo
na solução geral:
Derivando
:
E substituindo
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva o PVI:
, com
e
Sugestão
/ frações parciais:
.
Encontre a Transformada Inversa de
.
Derive as funções abaixo.
, para
O período
de oscilação de um pêndulo, cujo ângulo máximo de deflecção é
, é dado em termos da variável
como
sendo
o comprimento do pêndulo e
a aceleração devido à gravidade. Encontre o raio de convergência dessa série.
R.: o raio de convergência é
R.: o raio de convergência é