Utilize convolução para resolver o PVI y^prime prime+4 y=g(t), y(0)=3, y^prime(0)=-1 Fórmula: (f * g)(t)=integral0^t f(t-tau) g(tau) d tau=integral0^t f(tau) g(t-tau) d tau

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com condições iniciais e . O conteúdo envolve resolver equações diferenciais usando convolução. Para isso, vamos precisar entender o que é convolução e como aplicar essa técnica para encontrar a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial ordinária (EDO). Essa equação envolve derivadas de uma função desconhecida . No nosso caso, a EDO é de segunda ordem porque a derivada mais alta é .

Passo 3

A convolução é uma operação matemática que combina duas funções para produzir uma terceira função. A fórmula que vamos usar é:
(f * g)(t) = integral0^t f(t - tau) g(tau) dtau = integral0^t f(tau) g(t - tau) dtau
Isso vai nos ajudar a encontrar a solução particular da nossa EDO.

Passo 4

Para resolver a EDO yh(t) = C1 cos(2t) + C2 sin(2t) , primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, que é . A solução geral dessa equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular usando convolução. A solução completa da EDO é a soma da solução homogênea e da particular:
y(t) = yh(t) + yp(t)
A solução particular yp(t) = ( sin(2t)2 * g(t) ) pode ser encontrada pela convolução da função impulso com . Então:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes y(0) = 3 e y'(0) = -1 e y(0) = C1 cos(0) + C2 sin(0) = C1 = 3 . Sabemos que:
y'(t) = -2C1 sin(2t) + 2C2 cos(2t) + yp'(t)
Substituindo y'(0) = 0 + 2C2 = -1 Rightarrow C2 = -12 na solução geral:
Derivando :
E substituindo :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 3 cos(2t) - 12 sin(2t) + ( sin(2t)2 * g(t) )

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