Utilize convolução para resolver o PVI Fórmula:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com condições iniciais e . O conteúdo envolve resolver equações diferenciais usando convolução. Para isso, vamos precisar entender o que é convolução e como aplicar essa técnica para encontrar a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial ordinária (EDO). Essa equação envolve derivadas de uma função desconhecida . No nosso caso, a EDO é de segunda ordem porque a derivada mais alta é .

Passo 3

A convolução é uma operação matemática que combina duas funções para produzir uma terceira função. A fórmula que vamos usar é:
Isso vai nos ajudar a encontrar a solução particular da nossa EDO.

Passo 4

Para resolver a EDO , primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, que é . A solução geral dessa equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular usando convolução. A solução completa da EDO é a soma da solução homogênea e da particular:
A solução particular pode ser encontrada pela convolução da função impulso com . Então:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e . Sabemos que:
Substituindo na solução geral:
Derivando :
E substituindo :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva o PVI: , com e Sugestão / frações parciais: .
Encontre a Transformada Inversa de .
Derive as funções abaixo.
, para
O período de oscilação de um pêndulo, cujo ângulo máximo de deflecção é , é dado em termos da variável como
sendo o comprimento do pêndulo e a aceleração devido à gravidade. Encontre o raio de convergência dessa série.
R.: o raio de convergência é