Resolva o PVI:
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo
com as condições iniciais
e
. Isso está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação característica da EDO. Para equações lineares com coeficientes constantes como essa, substituímos
por
, onde
é uma constante que precisamos descobrir. Quando fazemos isso, a EDO se transforma em uma equação algébrica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas (
), a solução geral da EDO é:
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, usamos
:
Então,
.
Agora, vamos derivar
para encontrar
:
Como
, simplifica para:
Aplicamos a condição
:
Então,
.
Resposta
A solução da EDO com as condições iniciais dadas é:
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A Transformada de Laplace é definida por:
Calcule as transformadas de Laplace abaixo:
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Encontre a Transformada Inversa de
.
Resolva o PVI:
, com
e
Sugestão
/ frações parciais:
.