Resolva o PVI: , com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo com as condições iniciais e . Isso está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação característica da EDO. Para equações lineares com coeficientes constantes como essa, substituímos por , onde é uma constante que precisamos descobrir. Quando fazemos isso, a EDO se transforma em uma equação algébrica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas ( ), a solução geral da EDO é:

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, usamos :
Então, .
Agora, vamos derivar para encontrar :
Como , simplifica para:
Aplicamos a condição :
Então, .

Resposta

A solução da EDO com as condições iniciais dadas é:

Exercícios relacionados

A Transformada de Laplace é definida por: Calcule as transformadas de Laplace abaixo:
A Transformada de Laplace é definida por: Calcule as transformadas de Laplace abaixo:
Encontre a Transformada Inversa de .
Resolva o PVI: , com e Sugestão / frações parciais: .