Encontre a transformada inversa de Laplace por convolução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da expressão
usando convolução. Isso envolve conhecer um pouco sobre transformadas de Laplace e a operação de convolução. Vamos precisar entender como decompor essa fração e aplicar a propriedade de convolução para achar a função no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace inversa de um produto de duas funções no domínio de
pode ser encontrada usando a convolução das transformadas inversas individuais. Ou seja, se
, então
, onde
representa a convolução.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa expressão
. Podemos escrever isso como:
Aqui,
e
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas de
e
.
Para
, sabemos que a transformada inversa é a função de Heaviside deslocada:
onde
�� a função delta de Dirac.
Para
, podemos usar frações parciais para decompô-la:
Resolvendo para
e
:
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Então,
As transformadas inversas são:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos aplicar a convolução:
Substituindo
:
Passo 6
A propriedade da função delta de Dirac diz que:
Aplicando isso na nossa integral:
onde
é a função de Heaviside que “liga” a função quando
.
Resposta
A transformada inversa de Laplace é dada por