Encontre a transformada inversa de Laplace por convolução.
e^{-a s} / (s * (s - 2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da expressão usando convolução. Isso envolve conhecer um pouco sobre transformadas de Laplace e a operação de convolução. Vamos precisar entender como decompor essa fração e aplicar a propriedade de convolução para achar a função no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace inversa de um produto de duas funções no domínio de pode ser encontrada usando a convolução das transformadas inversas individuais. Ou seja, se , então , onde representa a convolução.

Passo 3

Vamos identificar e na nossa expressão . Podemos escrever isso como:
Aqui, e .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas de e .
Para , sabemos que a transformada inversa é a função de Heaviside deslocada:
onde �� a função delta de Dirac.
Para , podemos usar frações parciais para decompô-la:
Resolvendo para e :
Escolhendo :
Escolhendo :
Então,
As transformadas inversas são:

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a convolução:
Substituindo :

Passo 6

A propriedade da função delta de Dirac diz que:
á
Aplicando isso na nossa integral:
onde é a função de Heaviside que “liga” a função quando .

Resposta

A transformada inversa de Laplace é dada por

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