Encontre a transformada inversa de Laplace por convolução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da expressão
usando convolução. Isso envolve conhecer um pouco sobre transformadas de Laplace e a operação de convolução. Vamos precisar entender como decompor essa fração e aplicar a propriedade de convolução para achar a função no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace inversa de um produto de duas funções no domínio de
pode ser encontrada usando a convolução das transformadas inversas individuais. Ou seja, se
, então
, onde
representa a convolução.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa expressão
. Podemos escrever isso como:
Aqui,
e
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas de
e
.
Para
, sabemos que a transformada inversa é a função de Heaviside deslocada:
onde
�� a função delta de Dirac.
Para
, podemos usar frações parciais para decompô-la:
Resolvendo para
e
:
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Então,
As transformadas inversas são:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos aplicar a convolução:
Substituindo
:
Passo 6
A propriedade da função delta de Dirac diz que:
Aplicando isso na nossa integral:
onde
é a função de Heaviside que “liga” a função quando
.
Resposta
A transformada inversa de Laplace é dada por
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Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
Resolva as seguintes EDO
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(h)
(h)
Faça o mapa de contorno da função, mostrando as curvas de nível nos números dados:
em
e 16.