Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
y'' + 3y' + 2y = cos(αt), y(0) = 1, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
com condições iniciais e .
O conteúdo principal aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e a utilização da transformada de Laplace para resolver o problema. Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace e como expressar a solução em termos de convolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Vamos lembrar algumas propriedades importantes:
  • Transformada da derivada:
  • Transformada de :

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial:
Usando as propriedades das transformadas que mencionamos:
Substituindo as transformadas das derivadas:

Passo 4

Agora, vamos substituir as condições iniciais e :
Simplificando:
Agrupando os termos com :

Passo 5

Vamos isolar :
Podemos separar a fração:

Passo 6

Agora, queremos expressar a solução em termos de convolução. Lembrando que a convolução de duas funções no domínio do tempo corresponde ao produto das suas transformadas de Laplace.
Então, podemos escrever como um produto de duas transformadas:
Isso significa que, no domínio do tempo:
Aqui, o asterisco representa a convolução.

Passo 7

Vamos identificar as funções inversas:
  1. Para :
Primeiro, fatoramos o denominador:
Então,
  1. Para :
Sabemos que:
  1. Para :
Já fatoramos o denominador anteriormente:
Resolvendo, encontramos e , então:

Passo 8

Agora, substituindo as inversas na expressão da convolução:
A convolução é definida como:
Então,

Resposta

A solução do problema de valor inicial é dada por:

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