Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
com condições iniciais
e
.
O conteúdo principal aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e a utilização da transformada de Laplace para resolver o problema. Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace e como expressar a solução em termos de convolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Vamos lembrar algumas propriedades importantes:
-
Transformada da derivada:
-
Transformada de
:
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial:
Usando as propriedades das transformadas que mencionamos:
Substituindo as transformadas das derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
:
Simplificando:
Agrupando os termos com
:
Passo 5
Vamos isolar
:
Podemos separar a fração:
Passo 6
Agora, queremos expressar a solução
em termos de convolução. Lembrando que a convolução de duas funções no domínio do tempo corresponde ao produto das suas transformadas de Laplace.
Então, podemos escrever
como um produto de duas transformadas:
Isso significa que, no domínio do tempo:
Aqui, o asterisco
representa a convolução.
Passo 7
Vamos identificar as funções inversas:
- Para
:
Primeiro, fatoramos o denominador:
Então,
- Para
:
Sabemos que:
- Para
:
Já fatoramos o denominador anteriormente:
Resolvendo, encontramos
e
, então:
Passo 8
Agora, substituindo as inversas na expressão da convolução:
A convolução
é definida como:
Então,
Resposta
A solução do problema de valor inicial é dada por:
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Resolva as seguintes EDO
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(f)
(f)
Encontre a transformada inversa de Laplace por convolução.
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(h)
(h)