Mostre que, para quaisquer conjuntos
, tem-se que:
se e somente se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para quaisquer conjuntos
, temos que
se e somente se
. Isso está relacionado com teoria de conjuntos, especificamente com operações de diferença de conjuntos e relações de inclusão. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e o que representa a diferença entre conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Esse símbolo representa a diferença entre os conjuntos
e
, ou seja, todos os elementos que estão em
mas não estão em
. Matemáticamente, isso é definido como:
Passo 3
Agora, a afirmação
quer dizer que todo elemento que está na diferença
também está em
. Em outras palavras, para todo
, se
, então
.
Passo 4
Vamos analisar o que significa
. Se pegarmos a definição de
, temos que
implica que
e
. Mas, ao mesmo tempo, a afirmação diz que
. Então, estamos dizendo que
e
ao mesmo tempo, o que é impossível a menos que não haja nenhum elemento em
.
Passo 5
Essa impossibilidade só é resolvida se
não tiver nenhum elemento, ou seja,
. Assim, a única maneira de
ser verdadeira é se
for o conjunto vazio.
Passo 6
Agora, vamos provar o contrário para confirmar que se
, então
. Se
é vazio, não há nenhum elemento em
para verificar a condição de estar em
. Por definição, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, então
é sempre verdadeiro.
Resposta
Portanto, mostramos que
se e somente se
.
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Encontre a transformada inversa de Laplace de
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no ponto
;
(b) o ponto no gráfico de em que o plano tangente seja paralelo ao plano obtido no item (a).
(b) o ponto no gráfico de
Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
- (h)