Mostre que, para quaisquer conjuntos , tem-se que: se e somente se .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para quaisquer conjuntos , temos que se e somente se . Isso está relacionado com teoria de conjuntos, especificamente com operações de diferença de conjuntos e relações de inclusão. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e o que representa a diferença entre conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Esse símbolo representa a diferença entre os conjuntos e , ou seja, todos os elementos que estão em mas não estão em . Matemáticamente, isso é definido como:

Passo 3

Agora, a afirmação quer dizer que todo elemento que está na diferença também está em . Em outras palavras, para todo , se , então .

Passo 4

Vamos analisar o que significa . Se pegarmos a definição de , temos que implica que e . Mas, ao mesmo tempo, a afirmação diz que . Então, estamos dizendo que e ao mesmo tempo, o que é impossível a menos que não haja nenhum elemento em .

Passo 5

Essa impossibilidade só é resolvida se não tiver nenhum elemento, ou seja, . Assim, a única maneira de ser verdadeira é se for o conjunto vazio.

Passo 6

Agora, vamos provar o contrário para confirmar que se , então . Se é vazio, não há nenhum elemento em para verificar a condição de estar em . Por definição, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, então é sempre verdadeiro.

Resposta

Portanto, mostramos que se e somente se .

Exercícios relacionados

Encontre a transformada de Laplace de:
Encontre a transformada inversa de Laplace de
(a) a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto ;
(b) o ponto no gráfico de em que o plano tangente seja paralelo ao plano obtido no item (a).
Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
  • (h)